Dados v u, v v, v w, defina v a=v u+v w, v b=v u-2 v v+v w e v c=v u+2 v w. Mostre que v u, v v, v w é LI se e só se v a, v b, v c é LI.

Passo 1

Temos os vetores vec u,vec v,vec w e definimos
vec a=vec u+vec w, vec b=vec u-2vec v+vec w e vec c=vec u+2vec w.
O conteúdo aqui é independência linear. Vamos usar a definição: um conjunto de vetores é LI se toda combinação linear que gera o vetor nulo só admite coeficientes triviais.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro que se vec u,vec v,vec w é LI então vec a,vec b,vec c também é LI. Suponha
alphavec a+betavec b+gammavec c=vec0
Substituindo as definições,
alpha(vec u+vec w)+beta(vec u-2vec v+vec w)+gamma(vec u+2vec w) = (alpha+beta+gamma)vec u + (-2beta)vec v + (alpha+beta+2gamma)vec w = vec0
Como vec u,vec v,vec w é LI, temos
alpha+beta+gamma=0, -2beta=0, alpha+beta+2gamma=0
Da segunda equação beta=0. Então as outras viram
alpha+gamma=0 e alpha+2gamma=0, o que implica gamma=0 e em seguida alpha=0. Logo alpha=beta=gamma=0, provando a independência de vec a,vec b,vec c.

Passo 3

Agora mostramos o recíproco: se vec a,vec b,vec c é LI então vec u,vec v,vec w é LI. Primeiro, escrevemos vec u,vec v,vec w em função de vec a,vec b,vec c. Do sistema
vec a=vec u+vec w vec b=vec u-2vec v+vec w vec c=vec u+2vec w
vemos que
vec w=vec c-vec a, vec v=tfrac12(vec a-vec b), vec u=2vec a-vec c
Agora tome uma combinação linear qualquer
pvec u+qvec v+rvec w=vec0
e substitua essas expressões:
p(2vec a-vec c)+qtfrac12(vec a-vec b)+r(vec c-vec a) = (2p+tfrac q2 -r)vec a + (-tfrac q2)vec b +(-p+r)vec c =vec0
Como vec a,vec b,vec c é LI, os coeficientes devem ser zero,
2p+tfrac q2 -r=0,,-tfrac q2=0,,-p+r=0.
Da segunda equação q=0. Das outras vem r=p e então p=0, o que leva a r=0. Assim p=q=r=0, provando que vec u,vec v,vec w é LI.

Passo 4

Como mostramos as duas direções, concluímos que
vec u,vec v,vec w é LI se, e somente se, vec a,vec b,vec c é LI.

Resposta

As duas condições são equivalentes: vec u,vec v,vec w é LI se, e somente se, vec a,vec b,vec c é LI.

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