Dados , defina e . Mostre que é LI se e só se é LI.
Passo 1
Temos os vetores e definimos , e .
O conteúdo aqui é independência linear. Vamos usar a definição: um conjunto de vetores é LI se toda combinação linear que gera o vetor nulo só admite coeficientes triviais.
Passo 2
Vamos mostrar primeiro que se é LI então também é LI. Suponha
Substituindo as definições,
Como é LI, temos
Da segunda equação . Então as outras viram e , o que implica e em seguida . Logo , provando a independência de .
Passo 3
Agora mostramos o recíproco: se é LI então é LI. Primeiro, escrevemos em função de . Do sistema
vemos que
vec w=vec c-vec a, vec v=tfrac12(vec a-vec b), vec u=2vec a-vec c
Agora tome uma combinação linear qualquer
pvec u+qvec v+rvec w=vec0
e substitua essas expressões:
p(2vec a-vec c)+qtfrac12(vec a-vec b)+r(vec c-vec a) = (2p+tfrac q2 -r)vec a + (-tfrac q2)vec b +(-p+r)vec c =vec0
Como vec a,vec b,vec c é LI, os coeficientes devem ser zero, 2p+tfrac q2 -r=0,,-tfrac q2=0,,-p+r=0.
Da segunda equação q=0. Das outras vem r=p e então p=0, o que leva a r=0. Assim p=q=r=0, provando que vec u,vec v,vec w é LI.
Passo 4
Como mostramos as duas direções, concluímos que vec u,vec v,vec w é LI se, e somente se, vec a,vec b,vec c é LI.
Resposta
As duas condições são equivalentes: vec u,vec v,vec w é LI se, e somente se, vec a,vec b,vec c é LI.