Decida se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
Um sistema linear com três equações e quatro incógnitas tem sempre infinitas soluções.
Um sistema linear com três equações e quatro incógnitas tem sempre infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado diz que temos um sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas. O conteúdo é sistemas lineares de múltiplas variáveis, e vamos usar o conceito de posto (rank) da matriz de coeficientes e a compatibilidade do sistema.
Passo 2
Em um sistema linear com
equações e
incógnitas, o posto
da matriz de coeficientes satisfaz
. Aqui temos
e
, logo
.
Passo 3
Se o sistema for compatível (isto é, existir pelo menos uma solução), então o espaço das soluções tem dimensão
. Como
, haveria infinitas soluções.
Porém um sistema pode ser incompatível, ou seja, não ter nenhuma solução (por exemplo, duas equações contraditórias). Nesse caso o sistema não tem solução alguma, muito menos infinitas.
Porém um sistema pode ser incompatível, ou seja, não ter nenhuma solução (por exemplo, duas equações contraditórias). Nesse caso o sistema não tem solução alguma, muito menos infinitas.
Passo 4
Portanto, o sistema não tem sempre infinitas soluções: ele pode ser incompatível e não ter nenhuma.
Resposta
Falsa