Verdadeiro ou Falso? Justifique a sua resposta.
Mostre que dados quaisquer números beta1, beta2, beta3, o conjunto v u, v v, v w é LI se e só se
v u, v v+beta1 v u, v w+beta2 v v+beta3 v u
é LI.

Passo 1

Estamos com dois conjuntos de vetores em um espaço vetorial: o original { vec vu,,vec vv,,vec vw} e o transformado { vec vu,,vec vv+beta1vec vu,,vec vw+beta2vec vv+beta3vec vu}. O tema é independência linear (LI) e vamos usar a ideia de transformações lineares invertíveis.

Passo 2

Denotando por A a matriz cujas colunas são vec vu,,vec vv,,vec vw, podemos escrever o segundo conjunto como as colunas de A multiplicadas pela matriz triangular superior
M= 1 & beta1 & beta3 0 & 1 & beta2 0 & 0 & 1
De fato,
  • a 1ª coluna de A M é 1cdotvec vu+0+0=vec vu,
  • a 2ª é beta1vec vu+1cdotvec vv+0=vec vv+beta1vec vu,
  • a 3ª é beta3vec vu+beta2vec vv+1cdotvec vw=vec vw+beta2vec vv+beta3vec vu.

Passo 3

Calculamos o determinante de M: sendo triangular,
det M=1cdot1cdot1=1neq0,
logo M é inversível. Um fato fundamental é que colunas de A são LI se e só se colunas de A M são LI sempre que M for inversível.

Passo 4

Portanto a independência linear não muda quando somamos combinações lineares de vetores anteriores para gerar vetores posteriores. Concluímos que { vec vu,,vec vv,,vec vw} é LI se e só se { vec vu,,vec vv+beta1vec vu,,vec vw+beta2vec vv+beta3vec vu} é LI.

Resposta

Verdadeiro

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