Verdadeiro ou Falso? Justifique a sua resposta.
Mostre que dados quaisquer números , o conjunto é LI se e só se
é LI.
Passo 1
Estamos com dois conjuntos de vetores em um espaço vetorial: o original {} e o transformado {}. O tema é independência linear (LI) e vamos usar a ideia de transformações lineares invertíveis.
Passo 2
Denotando por a matriz cujas colunas são , podemos escrever o segundo conjunto como as colunas de multiplicadas pela matriz triangular superior
De fato,
a 1ª coluna de A M é 1cdotvec vu+0+0=vec vu,
a 2ª é beta1vec vu+1cdotvec vv+0=vec vv+beta1vec vu,
a 3ª é beta3vec vu+beta2vec vv+1cdotvec vw=vec vw+beta2vec vv+beta3vec vu.
Passo 3
Calculamos o determinante de M: sendo triangular,
det M=1cdot1cdot1=1neq0,
logo M é inversível. Um fato fundamental é que colunas de A são LI se e só se colunas de A M são LI sempre que M for inversível.
Passo 4
Portanto a independência linear não muda quando somamos combinações lineares de vetores anteriores para gerar vetores posteriores. Concluímos que {vec vu,,vec vv,,vec vw} é LI se e só se {vec vu,,vec vv+beta1vec vu,,vec vw+beta2vec vv+beta3vec vu} é LI.