Decida se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas.
Se X1, X2 e X3 são soluções do sistema A X=B então 25 X1+45 X2-15 X3 é também solução de A X=B.

Passo 1

O enunciado fala de um sistema linear A X = B e nos dá três soluções X1, X2, X3. Precisamos decidir se a combinação tfrac25X1 + tfrac45X2 - tfrac15X3 também resolve o mesmo sistema. O conteúdo aqui é a linearidade de matrizes e combinações lineares de soluções.

Passo 2

Sabendo que X1, X2, X3 são soluções, temos por definição
A X1 = B,
A X2 = B,
A X3 = B
Como uma matriz A é uma transformação linear, ela respeita combinações lineares: para quaisquer escalares alpha,beta,gamma e vetores v,w,z, vale
A(alpha v + beta w + gamma z) = alpha A v + beta A w + gamma A z

Passo 3

Agora aplicamos essa propriedade ao nosso caso com alpha=tfrac25,beta=tfrac45,gamma=-tfrac15 e v=X1, w=X2, z=X3. Então:
Al(tfrac25X1 + tfrac45X2 - tfrac15X3r) = tfrac25A X1 + tfrac45A X2 - tfrac15A X3
Mas cada A Xi = B, logo:
tfrac25B + tfrac45B - tfrac15B = l(tfrac25+tfrac45-tfrac15r)B = 1cdot B = B

Passo 4

Como aplicar A à combinação nos devolve B, concluímos que
A X = B
é de fato uma solução de .

Resposta

Verdadeira

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