Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1 ;
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1,
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [-5,3], considere a seguinte malha: x0=-5, x1=-3, x2=2 e x3=3. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e(xi, yi) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
A) [rrrr-15 & 13 & 0 & 0 -235 & -310 & 514 & 0 0 & -310 & 16 & 215 0 & 0 & -13 & 13]
(B) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -310 & 16 & 215 & 0 0 & -112 & -23 & 34 0 & 0 & -1 & 1]
© [rrrr-15 & 15 & 0 & 0 -130 & -45 & 56 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13]
(D) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -514 & 310 & 235 & 0 0 & -130 & -45 & 56 0 & 0 & -1 & 1]
(E) [rrrr-12 & 12 & 0 & 0 -14 & 0 & 14 & 0 0 & -16 & -12 & 23 0 & 0 & -1 & 1]
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá alguns pontos de uma função no intervalo e quer saber como podemos estimar a derivada dessa função nesses pontos. Basicamente, vamos transformar os valores da função nos valores aproximados das derivadas usando uma matriz de transformação linear. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas fornecidas para os pontos extremos e os pontos interiores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas nos pontos extremos g0 = y1 - y0x1 - x0 e g3 = y3 - y2x3 - x2 e g0 = y1 - y0-3 - (-5) = y1 - y02 . A fórmula para os extremos é bem direta:
g3 = y3 - y23 - 2 = y3 - y2
Sabendo que nossa malha de pontos é , , e , podemos substituir esses valores:

Passo 3

Agora, vamos para os pontos interiores gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e onde alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) . A fórmula é um pouco mais complicada, mas vamos desmontar passo a passo. Para um ponto interior xi-1 = x0 = -5, xi = x1 = -3, xi+1 = x2 = 2 :
alpha1 = (2 - (-3))( -3 - (-5))(2 - (-5)) = (5)(2)(7) = 70
g1 = -(2 - (-3))^270 y0 + (2 - (-3))^2 - ((-3) - (-5))^270 y1 + ((-3) - (-5))^270 y2
Vamos calcular isso para g1 = -2570 y0 + 25 - 470 y1 + 470 y2 = -514 y0 + 2170 y1 + 235 y2 e xi-1 = x1 = -3, xi = x2 = 2, xi+1 = x3 = 3 :
Para alpha2 = (3 - 2)(2 - (-3))(3 - (-3)) = (1)(5)(6) = 30 ( g2 = -(3 - 2)^230 y1 + (3 - 2)^2 - (2 - (-3))^230 y2 + (2 - (-3))^230 y3 ):
g2 = -130 y1 + 1 - 2530 y2 + 2530 y3 = -130 y1 - 2430 y2 + 56 y3
Para ( ):

Passo 4

Agora que temos as expressões para T(y0, y1, y2, y3) = (g0, g1, g2, g3) , vamos organizar tudo em forma de matriz. Queremos expressar:
g0 = 12 y1 - 12 y0 g1 = -514 y0 + 310 y1 + 235 y2 g2 = -130 y1 - 45 y2 + 56 y3 g3 = -y2 + y3
Substituindo as expressões que encontramos:
T = -12 & 12 & 0 & 0 -514 & 310 & 235 & 0 0 & -130 & -45 & 56 0 & 0 & -1 & 1
Escrevendo isso em forma matricial:

Resposta

Letra (D)
[rrrr -12 & 12 & 0 & 0 -514 & 310 & 235 & 0 0 & -130 & -45 & 56 0 & 0 & -1 & 1 ]

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