Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá alguns pontos de uma função no intervalo e quer saber como podemos estimar a derivada dessa função nesses pontos. Basicamente, vamos transformar os valores da função nos valores aproximados das derivadas usando uma matriz de transformação linear. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas fornecidas para os pontos extremos e os pontos interiores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas nos pontos extremos g0 = y1 - y0x1 - x0 e g3 = y3 - y2x3 - x2 e g0 = y1 - y0-3 - (-5) = y1 - y02 . A fórmula para os extremos é bem direta:
g3 = y3 - y23 - 2 = y3 - y2
Sabendo que nossa malha de pontos é , , e , podemos substituir esses valores:
Passo 3
Agora, vamos para os pontos interiores gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e onde alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) . A fórmula é um pouco mais complicada, mas vamos desmontar passo a passo. Para um ponto interior xi-1 = x0 = -5, xi = x1 = -3, xi+1 = x2 = 2 :