Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são, indique pelo menos um axioma que falha.
d) O conjunto de todos os pares ordenados
de números reais com as operações
d) O conjunto de todos os pares ordenados
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto de todos os pares ordenados
de números reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, forma um espaço vetorial. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial, que são um conjunto de regras que esses conjuntos precisam seguir. Vamos checar cada axioma passo a passo para ver se tudo se encaixa.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra adição. A operação dada é:
Num espaço vetorial, a adição deve ter um elemento neutro, ou seja, um vetor
tal que, para qualquer vetor
,
.
Passo 3
Vamos tentar encontrar esse vetor neutro
. Aplicando a operação de adição:
Isso significa que:
Simplificando, temos:
Então, o vetor neutro seria
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
realmente funciona como o vetor neutro:
Parece que sim! Mas temos que verificar todos os axiomas para ter certeza completa.
Passo 5
Vamos checar o axioma da associatividade da adição. Precisamos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Os dois lados são iguais, então a associatividade é satisfeita.
Passo 6
Agora, vamos verificar o axioma da existência de elementos inversos. Para cada vetor
, deve existir um vetor
tal que:
Usando a operação de adição:
Isso não é igual a
, o que significa que não existe um vetor inverso que satisfaça o axioma.
Passo 7
Além disso, podemos notar que o axioma da identidade aditiva foi inicialmente satisfazido com
, mas o problema surge na existência dos inversos, que não funcionam como deveria. Isso já é suficiente para concluir.
Resposta
O conjunto não é um espaço vetorial porque falha no axioma da existência de elementos inversos para a adição.