Dados os valores brutos:
.
(a) Construa o rol.
(b) Calcule a média aritmética.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule a variância e o desvio padrão.
(a) Construa o rol.
(b) Calcule a média aritmética.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule a variância e o desvio padrão.
Passo 1
O enunciado dá os valores brutos
As perguntas são:
(a) construir o rol (ordenar os dados);
(b) calcular a média aritmética;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular a variância e o desvio padrão.
Vou usar diretamente esses 10 valores fornecidos para todas as contas (não há outras informações).
(a) construir o rol (ordenar os dados);
(b) calcular a média aritmética;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular a variância e o desvio padrão.
Vou usar diretamente esses 10 valores fornecidos para todas as contas (não há outras informações).
Passo 2
Construir o rol significa ordenar os dados em ordem crescente. Ordenando os números dados obtemos:
Esse é o rol pedido no item (a).
Passo 3
Média aritmética: primeiro apresento a definição e o significado das variáveis.
A média aritmética de um conjunto de observações
é
A média aritmética de um conjunto de
onde
é o número total de observações e
é a soma dos valores. Aqui
.
Calculo da soma dos dados (mostrando a soma acumulada):
Logo
. Portanto a média é
Interpretação rápida: em média os valores estão em torno de
.
Passo 4
Moda: definição e procedimento.
A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados. Contando as ocorrências (usei o rol para facilitar):
A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados. Contando as ocorrências (usei o rol para facilitar):
-
aparece 2 vezes; -
aparece 1 vez; -
aparece 2 vezes; -
aparece 1 vez; -
aparece 3 vezes; -
aparece 1 vez.
O valor com maior frequência é
(3 ocorrências). Logo a moda é
.
Passo 5
Mediana: definição e cálculo prático.
A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se for ímpar, é o valor da posição
. Se
for par, é a média aritmética dos dois valores centrais, isto é, das posições
e
.
A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se
Aqui
(par), então a mediana é a média dos 5.º e 6.º elementos do rol. Pelo rol:
Assim a mediana é
Passo 6
Variância e desvio padrão: definição, escolha do método e cálculo.
Primeiro explico as opções e justifico a escolha. Há duas fórmulas comuns:
Primeiro explico as opções e justifico a escolha. Há duas fórmulas comuns:
- Variância populacional (quando os dados representam toda a população analisada):
- Variância amostral (estimador da variância da população a partir de uma amostra):
O enunciado só deu os valores brutos e pediu “a variância e o desvio padrão” sem especificar amostral ou populacional. Em estatística descritiva simples costuma-se usar a variância populacional quando se trabalha diretamente com o conjunto de dados fornecido. Portanto aqui vou calcular a variância populacional
. (Se quiser a versão amostral, explico no final como obter.)
Agora calculo a soma dos quadrados dos desvios em relação à média
. Para cada observação
calculo
e
:
Agora somo todos os
:
Logo
.
A variância populacional é
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
Para obter uma aproximação prática, faço uma estimação por quadrados próximos:
Como
está entre esses dois valores e mais perto de
, podemos interpolar e obter
. Arredondando comumente para duas casas:
.
Observação rápida: se em vez da variância populacional quisesse a variância amostral, usaríamos
no denominador:
Mas este último valor é o estimador amostral; o que forneci acima é a variância e desvio padrão populacionais.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d) \n
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)