Dados os valores brutos: 15,18,22,15,20,25,18,22,22,16.
(a) Construa o rol.
(b) Calcule a média aritmética.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule a variância e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá os valores brutos
15,\;18,\;22,\;15,\;20,\;25,\;18,\;22,\;22,\;16.
As perguntas são:
(a) construir o rol (ordenar os dados);
(b) calcular a média aritmética;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular a variância e o desvio padrão.
Vou usar diretamente esses 10 valores fornecidos para todas as contas (não há outras informações).

Passo 2

Construir o rol significa ordenar os dados em ordem crescente. Ordenando os números dados obtemos:
\text{rol} = 15,\;15,\;16,\;18,\;18,\;20,\;22,\;22,\;22,\;25.
Esse é o rol pedido no item (a).

Passo 3

Média aritmética: primeiro apresento a definição e o significado das variáveis.
A média aritmética de um conjunto de n observações x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde n é o número total de observações e \sum_{i=1}^n x_i é a soma dos valores. Aqui n=10.
Calculo da soma dos dados (mostrando a soma acumulada):
\begin{aligned} &15+18=33,\\\ &33+22=55,\\\ &55+15=70,\\\ &70+20=90,\\\ &90+25=115,\\\ &115+18=133,\\\ &133+22=155,\\\ &155+22=177,\\\ &177+16=193. \end{aligned}
Logo \sum_{i=1}^{10} x_i = 193. Portanto a média é
\bar{x}=\frac{193}{10}=19,3.
Interpretação rápida: em média os valores estão em torno de 19,3.

Passo 4

Moda: definição e procedimento.
A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados. Contando as ocorrências (usei o rol para facilitar):
  • 15 aparece 2 vezes;
  • 16 aparece 1 vez;
  • 18 aparece 2 vezes;
  • 20 aparece 1 vez;
  • 22 aparece 3 vezes;
  • 25 aparece 1 vez.
O valor com maior frequência é 22 (3 ocorrências). Logo a moda é 22.

Passo 5

Mediana: definição e cálculo prático.
A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se n for ímpar, é o valor da posição \frac{n+1}{2}. Se n for par, é a média aritmética dos dois valores centrais, isto é, das posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.
Aqui n=10 (par), então a mediana é a média dos 5.º e 6.º elementos do rol. Pelo rol:
\text{5.º} = 18,\qquad \text{6.º} = 20.ºº
Assim a mediana é
\text{mediana}=\frac{18+20}{2}=19.

Passo 6

Variância e desvio padrão: definição, escolha do método e cálculo.
Primeiro explico as opções e justifico a escolha. Há duas fórmulas comuns:
  • Variância populacional (quando os dados representam toda a população analisada):
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
  • Variância amostral (estimador da variância da população a partir de uma amostra):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
O enunciado só deu os valores brutos e pediu “a variância e o desvio padrão” sem especificar amostral ou populacional. Em estatística descritiva simples costuma-se usar a variância populacional quando se trabalha diretamente com o conjunto de dados fornecido. Portanto aqui vou calcular a variância populacional \sigma^2. (Se quiser a versão amostral, explico no final como obter.)
Agora calculo a soma dos quadrados dos desvios em relação à média \bar{x}=19,3. Para cada observação x_i calculo x_i-\bar{x} e (x_i-\bar{x})^2:
\begin{aligned} &15:\;15-19,3=-4,3,\quad(-4,3)^2=18,49,\\\ &18:\;18-19,3=-1,3,\quad(-1,3)^2=1,69,\\\ &22:\;22-19,3=2,7,\quad(2,7)^2=7,29,\\\ &15:\;-4,3,\quad18,49,\\\ &20:\;20-19,3=0,7,\quad0,49,\\\ &25:\;25-19,3=5,7,\quad32,49,\\\ &18:\;-1,3,\quad1,69,\\\ &22:\;2,7,\quad7,29,\\\ &22:\;2,7,\quad7,29,\\\ &16:\;16-19,3=-3,3,\quad(-3,3)^2=10,89. \end{aligned}
Agora somo todos os (x_i-\bar{x})^2:
\begin{aligned} &18,49+1,69=20,18,\\\ &20,18+7,29=27,47,\\\ &27,47+18,49=45,96,\\\ &45,96+0,49=46,45,\\\ &46,45+32,49=78,94,\\\ &78,94+1,69=80,63,\\\ &80,63+7,29=87,92,\\\ &87,92+7,29=95,21,\\\ &95,21+10,89=106,10. \end{aligned}
Logo \sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 106,10.
A variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{106,10}{10}=10,61.
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{10,61}.
Para obter uma aproximação prática, faço uma estimação por quadrados próximos:
3,25^2=10,5625,\qquad 3,26^2=10,6276.
Como 10,61 está entre esses dois valores e mais perto de 3,26^2, podemos interpolar e obter \sigma\approx3,257. Arredondando comumente para duas casas: \sigma\approx3,26.
Observação rápida: se em vez da variância populacional quisesse a variância amostral, usaríamos n-1=9 no denominador:
s^2=\frac{106,10}{9}\approx11,79,\qquad s\approx\sqrt{11,79}\approx3,43.
Mas este último valor é o estimador amostral; o que forneci acima é a variância e desvio padrão populacionais.

Resposta

(a) \text{rol}=15,\;15,\;16,\;18,\;18,\;20,\;22,\;22,\;22,\;25\n
(b) \bar{x}=19,3\n
(c) \text{moda}=22\n
(d) \text{mediana}=19\n
(e) \sigma^2=10,61,\quad \sigma\approx3,26

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