A tabela abaixo mostra as notas de 30 alunos em uma prova:
Nota Número de Alunos
3 2
4 5
5 8
6 7
7 5
8 3
(a) Construa a coluna de frequência acumulada.
(b) Calcule a média das notas.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule o desvio padrão.
(f) Qual a porcentagem de alunos com nota acima de 5?

Passo 1

O enunciado fornece as notas e o número de alunos em cada nota (total de 30 alunos). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos da tabela):
  • Nota 3: 2 alunos.
  • Nota 4: 5 alunos.
  • Nota 5: 8 alunos.
  • Nota 6: 7 alunos.
  • Nota 7: 5 alunos.
  • Nota 8: 3 alunos.
  • Total de alunos: 30.
O que o enunciado pede:
(a) construir a coluna de frequência acumulada;
(b) calcular a média das notas;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular o desvio padrão;
(f) qual a porcentagem de alunos com nota acima de 5.

Passo 2

Construir a coluna de frequência acumulada (frequência acumulada é, para cada nota, a soma das frequências até essa nota). Vou calcular somando as frequências em ordem crescente das notas:
  • Para a nota 3: frequência acumulada =2.
  • Para a nota 4: frequência acumulada =2+5=7.
  • Para a nota 5: frequência acumulada =7+8=15.
  • Para a nota 6: frequência acumulada =15+7=22.
  • Para a nota 7: frequência acumulada =22+5=27.
  • Para a nota 8: frequência acumulada =27+3=30.
Portanto a coluna de frequência acumulada é: 2,\;7,\;15,\;22,\;27,\;30 correspondendo às notas 3,4,5,6,7,8, respectivamente.

Passo 3

Calcular a média das notas. Vou explicar a fórmula e cada símbolo.
Fórmula da média (aritmética) para dados em tabela de frequências:
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{N},
onde x_i é o valor da i-ésima categoria (a nota), f_i é a frequência dessa categoria (número de alunos com essa nota) e N=\sum f_i é o total de observações (aqui N=30).
Calcular \sum f_i x_i passo a passo (produto nota × frequência):
3\cdot2=6, \quad 4\cdot5=20, \quad 5\cdot8=40, \quad 6\cdot7=42, \quad 7\cdot5=35, \quad 8\cdot3=24.
Somando esses produtos:
\sum f_i x_i = 6+20+40+42+35+24=167.
Então a média é
\bar{x}=\frac{167}{30}\approx 5,566\ldots
(ou seja, \bar{x}=\dfrac{167}{30}\approx 5,567 com arredondamento a três casas decimais).

Passo 4

Determinar a moda. Vou explicar o conceito e aplicar.
Definição: a moda é o valor (nota) que ocorre com maior frequência (o valor de x_i com maior f_i).
Observando as frequências:
  • f(3)=2, f(4)=5, f(5)=8, f(6)=7, f(7)=5, f(8)=3.
A maior frequência é 8, que corresponde à nota 5. Portanto a moda é 5.

Passo 5

Encontrar a mediana. Explico o procedimento para dados em tabela de frequências.
Definição/procedimento:
  • Ordenar os dados (já estão ordenados por nota).
  • Se N é ímpar, a mediana é o valor da observação na posição \dfrac{N+1}{2}.
  • Se N é par, a mediana é a média aritmética das observações nas posições \dfrac{N}{2} e \dfrac{N}{2}+1.
Aqui N=30 (par). Então precisamos das observações nas posições 15 e 16 na ordenação crescente.
Usando a frequência acumulada (do Passo 2):
  • até nota 5 temos 15 observações; isso significa que a 15ª observação é 5.
  • a 16ª observação está na próxima classe (nota 6), porque a frequência acumulada passa de 15 para 22 ao incluir os 7 alunos com nota 6. Logo a 16ª observação é 6.
Portanto a mediana é a média entre a 15ª e a 16ª observações:
\text{mediana}=\frac{5+6}{2}=5,5.

Passo 6

Calcular o desvio padrão. Vou usar o desvio padrão populacional (toda a turma de 30 alunos) e explicar tudo.
Fórmula (populacional):
\sigma=\sqrt{\sigma^2} \qquad\text{com}\qquad \sigma^2=\frac{\sum f_i x_i^2}{N}-\bar{x}^2,
onde \sum f_i x_i^2 é a soma das frequências vezes o quadrado das observações, N é o total, e \bar{x} é a média (já calculada).
Calcular \sum f_i x_i^2 passo a passo:
3^2\cdot2=9\cdot2=18, \quad 4^2\cdot5=16\cdot5=80, \quad 5^2\cdot8=25\cdot8=200,
6^2\cdot7=36\cdot7=252, \quad 7^2\cdot5=49\cdot5=245, \quad 8^2\cdot3=64\cdot3=192.
Somando:
\sum f_i x_i^2 = 18+80+200+252+245+192=987.
Agora aplico a fórmula da variância:
\sigma^2=\frac{987}{30}-\left(\frac{167}{30}\right)^{\!2}.
Calcular numericamente:
\frac{987}{30}=32,9, \qquad \left(\frac{167}{30}\right)^{\!2}=\frac{27889}{900}\approx 30,987\overline{7}.
Subtraindo:
\sigma^2\approx 32,9-30,987777\ldots=1,912222\ldots
Tomando a raiz quadrada:
\sigma\approx\sqrt{1,912222\ldots}\approx 1,383.
Portanto o desvio padrão populacional aproximado é \sigma\approx 1,383.
Observação rápida (para a prova): se pedirem o desvio padrão amostral usa-se s=\sqrt{\dfrac{\sum f_i (x_i-\bar{x})^2}{N-1}}, que daria um valor ligeiramente maior; aqui usamos o divisor N porque temos todos os 30 alunos da turma.

Passo 7

Calcular a porcentagem de alunos com nota acima de 5. Vou explicar a lógica.
"Acima de 5" significa notas estritamente maiores que 5: são as notas 6,7,8. Soma das frequências dessas notas:
f(6)+f(7)+f(8)=7+5+3=15.
Porcentagem é \dfrac{15}{30}\times100\%=50\%.

Resposta

(a) Frequência acumulada (para notas 3,4,5,6,7,8): 2,\;7,\;15,\;22,\;27,\;30
(b) Média: \bar{x}=\dfrac{167}{30}\approx 5,567
(c) Moda: 5
(d) Mediana: 5,5
(e) Desvio padrão (populacional): \sigma\approx 1,383
(f) Porcentagem com nota acima de 5: 50\%

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