A tabela abaixo mostra as notas de 30 alunos em uma prova:
Nota
Número de Alunos
3
2
4
5
5
8
6
7
7
5
8
3
(a) Construa a coluna de frequência acumulada.
(b) Calcule a média das notas.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule o desvio padrão.
(f) Qual a porcentagem de alunos com nota acima de 5?
| Nota | Número de Alunos |
| 3 | 2 |
| 4 | 5 |
| 5 | 8 |
| 6 | 7 |
| 7 | 5 |
| 8 | 3 |
(b) Calcule a média das notas.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
(e) Calcule o desvio padrão.
(f) Qual a porcentagem de alunos com nota acima de 5?
Passo 1
O enunciado fornece as notas e o número de alunos em cada nota (total de
alunos). Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (pegos da tabela):
- Nota
: alunos. - Nota
: alunos. - Nota
: alunos. - Nota
: alunos. - Nota
: alunos. - Nota
: alunos. - Total de alunos:
.
O que o enunciado pede:
(a) construir a coluna de frequência acumulada;
(b) calcular a média das notas;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular o desvio padrão;
(f) qual a porcentagem de alunos com nota acima de .
(a) construir a coluna de frequência acumulada;
(b) calcular a média das notas;
(c) determinar a moda;
(d) encontrar a mediana;
(e) calcular o desvio padrão;
(f) qual a porcentagem de alunos com nota acima de
Passo 2
Construir a coluna de frequência acumulada (frequência acumulada é, para cada nota, a soma das frequências até essa nota). Vou calcular somando as frequências em ordem crescente das notas:
- Para a nota
: frequência acumulada . - Para a nota
: frequência acumulada . - Para a nota
: frequência acumulada . - Para a nota
: frequência acumulada . - Para a nota
: frequência acumulada . - Para a nota
: frequência acumulada .
Portanto a coluna de frequência acumulada é:
correspondendo às notas
, respectivamente.
Passo 3
Calcular a média das notas. Vou explicar a fórmula e cada símbolo.
Fórmula da média (aritmética) para dados em tabela de frequências:
onde
é o valor da i-ésima categoria (a nota),
é a frequência dessa categoria (número de alunos com essa nota) e
é o total de observações (aqui
).
Calcular
passo a passo (produto nota × frequência):
Somando esses produtos:
Então a média é
(ou seja,
com arredondamento a três casas decimais).
Passo 4
Determinar a moda. Vou explicar o conceito e aplicar.
Definição: a moda é o valor (nota) que ocorre com maior frequência (o valor de
com maior
).
Observando as frequências:
-
, , , , , .
A maior frequência é
, que corresponde à nota
. Portanto a moda é
.
Passo 5
Encontrar a mediana. Explico o procedimento para dados em tabela de frequências.
Definição/procedimento:
- Ordenar os dados (já estão ordenados por nota).
- Se
é ímpar, a mediana é o valor da observação na posição . - Se
é par, a mediana é a média aritmética das observações nas posições e .
Aqui
(par). Então precisamos das observações nas posições
e
na ordenação crescente.
Usando a frequência acumulada (do Passo 2):
- até nota
temos observações; isso significa que a 15ª observação é . - a 16ª observação está na próxima classe (nota
), porque a frequência acumulada passa de para ao incluir os alunos com nota . Logo a 16ª observação é .
Portanto a mediana é a média entre a 15ª e a 16ª observações:
Passo 6
Calcular o desvio padrão. Vou usar o desvio padrão populacional (toda a turma de
alunos) e explicar tudo.
Fórmula (populacional):
onde
é a soma das frequências vezes o quadrado das observações,
é o total, e
é a média (já calculada).
Calcular
passo a passo:
Somando:
Agora aplico a fórmula da variância:
Calcular numericamente:
Subtraindo:
Tomando a raiz quadrada:
Portanto o desvio padrão populacional aproximado é
.
Observação rápida (para a prova): se pedirem o desvio padrão amostral usa-se
, que daria um valor ligeiramente maior; aqui usamos o divisor
porque temos todos os
alunos da turma.
Passo 7
Calcular a porcentagem de alunos com nota acima de
. Vou explicar a lógica.
"Acima de
" significa notas estritamente maiores que
: são as notas
. Soma das frequências dessas notas:
Porcentagem é
.
Resposta
(a) Frequência acumulada (para notas
):
(b) Média:
(c) Moda:
(d) Mediana:
(e) Desvio padrão (populacional):
(f) Porcentagem com nota acima de :
(b) Média:
(c) Moda:
(d) Mediana:
(e) Desvio padrão (populacional):
(f) Porcentagem com nota acima de