Em R^2, dados lambda in R, u=(u1, u2) e v=(v1, v2) vamos considerar as operações de soma +e produto por um escalar • definidas de três formas diferentes:
(a) u+v=(u1+v2, u2+v1), lambda cdot u=(lambda u1, lambda u2);
(b) u+v=(u1 v1, u2 v2), lambda cdot u=(2 lambda u1, lambda u2);
(c) u+v=(4 u1+4 v1, 5 u2+5 v2), lambda cdot u=(lambda u2, lambda u1).
Em cada caso, dizer quais condições (axiomas) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.

Passo 1

Beleza, vamos destrinchar essa questão juntos! O exercício está pedindo para a gente analisar, em cada um dos três casos apresentados, se as operações de soma e produto por escalar definidas realmente fazem com que o conjunto R^2 seja um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar, em cada caso, quais são respeitados e quais não são.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os axiomas fundamentais que precisamos verificar para confirmar se estamos lidando com um espaço vetorial:
  1. Comutatividade da Soma: u + v = v + u
  2. Associatividade da Soma: (u + v) + w = u + (v + w)
  3. Elemento Neutro da Soma: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u
  4. Elemento Inverso da Soma: Para todo u, existe -u tal que u + (-u) = 0
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escala: a(bu) = (ab)u
  6. Distributividade do Escalar sobre a Soma de Vetores: a(u + v) = au + av
  7. Distributividade da Soma de Escalares sobre um Vetor: (a + b)u = au + bu
  8. Multiplicação por Escalar 1: 1u = u
Vamos agora verificar cada caso apresentado.

Passo 3

Caso (a):

Definições:
  • Soma: u + v = (u1 + v2, u2 + v1)
  • Produto por escalar: lambda cdot u = (lambda u1, lambda u2)
Análise dos Axiomas:
  1. Comutatividade da Soma: Vamos ver se u + v = v + u.
    • u + v = (u1 + v2, u2 + v1)
    • v + u = (v1 + u2, v2 + u1)
    • Geralmente, u1 + v2 neq v1 + u2 a menos que u1 = v1 e u2 = v2. Portanto, não é comutativa.
  2. Associatividade da Soma: Vamos checar se (u + v) + w = u + (v + w).
    • Isso exigiria uma igualdade complicada entre as componentes, que geralmente não se sustenta. Não é associativa.
  3. Elemento Neutro da Soma: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u.
    • Suponha 0 = (a, b).
    • u + 0 = (u1 + b, u2 + a) = (u1, u2)
    • Isso implica b = 0 e a = 0, então 0 = (0, 0). Ok, existe elemento neutro.
  4. Elemento Inverso da Soma: Para todo u, existe -u tal que u + (-u) = 0.
    • u + (-u) = (u1 + (-u)2, u2 + (-u)1) = (0, 0)
    • Isso implica u1 + (-u)2 = 0 e u2 + (-u)1 = 0, então -u = (-u2, -u1). Existe inverso.
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escala: a(bu) = (ab)u
    • b u = (b u1, b u2)
    • a(bu) = (a b u1, a b u2)
    • (ab)u = (ab u1, ab u2)
    • Igual, satisfaz.
  6. Distributividade do Escalar sobre a Soma de Vetores: a(u + v) = a u + a v
    • u + v = (u1 + v2, u2 + v1)
    • a(u + v) = (a(u1 + v2), a(u2 + v1))
    • a u + a v = (a u1 + a v2, a u2 + a v1)
    • Igual, satisfaz.
  7. Distributividade da Soma de Escalares sobre um Vetor: (a + b)u = a u + b u
    • (a + b)u = ((a + b)u1, (a + b)u2)
    • a u + b u = (a u1 + b u1, a u2 + b u2)
    • Igual, satisfaz.
  8. Multiplicação por Escalar 1: 1u = u
    • 1u = (1 cdot u1, 1 cdot u2) = (u1, u2)
    • Igual, satisfaz.
Conclusão para o Caso (a):
Os axiomas que não são respeitados:
  • Comutatividade da Soma
  • Associatividade da Soma
Os demais axiomas são respeitados.

Passo 4

Caso (b):

Definições:
  • Soma: u + v = (u1 v1, u2 v2)
  • Produto por escalar: lambda cdot u = (2 lambda u1, lambda u2)
Análise dos Axiomas:
  1. Comutatividade da Soma: u + v = (u1 v1, u2 v2) = v + u
    • Multiplicação é comutativa, então u1 v1 = v1 u1 e u2 v2 = v2 u2. Comutativa.
  2. Associatividade da Soma: Vamos ver se (u + v) + w = u + (v + w).
    • (u + v) + w = (u1 v1 w1, u2 v2 w2)
    • u + (v + w) = (u1 (v1 w1), u2 (v2 w2)
    • Igual, já que a multiplicação é associativa. Associativa.
  3. Elemento Neutro da Soma: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u.
    • u + 0 = (u1 cdot 01, u2 cdot 02) = (0, 0) neq u a menos que u = (0,0).
    • Portanto, não existe elemento neutro para todos os vetores.
  4. Elemento Inverso da Soma: Para todo u, existe -u tal que u + (-u) = 0.
    • Necessita que u1 (-u)1 = 0 e u2 (-u)2 = 0, o que implica (-u)1 = 0 e (-u)2 = 0.
    • Portanto, único inverso é (0,0), não válido para todos os vetores. Não existe inverso geral.
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escala: a(bu) = (a cdot b)u
    • b u = (2 b u1, b u2)
    • a(bu) = (2 a (2 b u1), a (b u2)) = (4 a b u1, a b u2)
    • (ab)u = (2 (a b) u1, (a b) u2) = (2 a b u1, a b u2)
    • 4 a b u1 neq 2 a b u1, a menos que a b u1 = 0. Não satisfaz.
  6. Distributividade do Escalar sobre a Soma de Vetores: a(u + v) = a u + a v
    • u + v = (u1 v1, u2 v2)
    • a(u + v) = (2 a (u1 v1), a (u2 v2))
    • a u + a v = (2 a u1 cdot 2 a v1, a u2 cdot a v2) = (4 a^2 u1 v1, a^2 u2 v2)
    • Diferente de a(u + v). Não satisfaz.
  7. Distributividade da Soma de Escalares sobre um Vetor: (a + b)u = a u + b u
    • (a + b)u = (2(a + b) u1, (a + b) u2)
    • a u + b u = (2 a u1 cdot 2 b u1, a u2 cdot b u2) = (4 a b u1, a b u2)
    • Diferente de (a + b)u. Não satisfaz.
  8. Multiplicação por Escalar 1: 1u = u
    • 1u = (2 cdot 1 cdot u1, 1 cdot u2) = (2 u1, u2)
    • Diferente de (u1, u2) a menos que u1 = 0. Não satisfaz.
Conclusão para o Caso (b):
Os axiomas que são respeitados:
  • Comutatividade da Soma
  • Associatividade da Soma
Os demais axiomas não são respeitados.

Passo 5

Caso (c):

Definições:
  • Soma: u + v = (4 u1 + 4 v1, 5 u2 + 5 v2)
  • Produto por escalar: lambda cdot u = (lambda u2, lambda u1)
Análise dos Axiomas:
  1. Comutatividade da Soma: u + v = (4 u1 + 4 v1, 5 u2 + 5 v2) = (4 v1 + 4 u1, 5 v2 + 5 u2) = v + u
    • Igual, Comutativa.
  2. Associatividade da Soma: Vamos verificar se (u + v) + w = u + (v + w).
    • (u + v) + w = (4(4 u1 + 4 v1) + 4 w1, 5(5 u2 + 5 v2) + 5 w2) = (16 u1 + 16 v1 + 4 w1, 25 u2 + 25 v2 + 5 w2)
    • u + (v + w) = (4 u1 + 4(4 v1 + 4 w1), 5 u2 + 5(5 v2 + 5 w2)) = (4 u1 + 16 v1 + 16 w1, 5 u2 + 25 v2 + 25 w2)
    • Não são iguais a menos que 16 u1 = 4 u1 e 25 u2 = 5 u2, o que só ocorre se u = 0. Não é associativa.
  3. Elemento Neutro da Soma: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u.
    • u + 0 = (4 u1 + 4 cdot 01, 5 u2 + 5 cdot 02) = (4 u1, 5 u2)
    • Para que seja igual a u = (u1, u2), precisaríamos que 4 u1 = u1 e 5 u2 = u2 para todo u, o que só ocorre se u = 0. Não existe elemento neutro.
  4. Elemento Inverso da Soma: Para todo u, existe -u tal que u + (-u) = 0.
    • Necessita que 4 u1 + 4 (-u)1 = 0 e 5 u2 + 5 (-u)2 = 0, ou seja, (-u)1 = -u1 e (-u)2 = -u2.
    • Então, -u = (-u1, -u2).
    • Verificando: u + (-u) = (4 u1 - 4 u1, 5 u2 - 5 u2) = (0, 0), existe inverso.
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escala: a(bu) = (ab)u
    • b u = (b u2, b u1)
    • a(bu) = (a (b u1), a (b u2)) = (a b u1, a b u2)
    • (ab)u = ((ab) u2, (ab) u1) = (a b u2, a b u1)
    • A não ser que u1 = u2, não satisfaz.
  6. Distributividade do Escalar sobre a Soma de Vetores: a(u + v) = a u + a v
    • u + v = (4 u1 + 4 v1, 5 u2 + 5 v2)
    • a(u + v) = (a (4 u1 + 4 v1)2, a (4 u1 + 4 v1)1) – aqui a definição do produto por escalar troca as componentes.
    • a u + a v = (lambda u2 + lambda v2, lambda u1 + lambda v1)
    • Não correspondem, não satisfaz.
  7. Distributividade da Soma de Escalares sobre um Vetor: (a + b)u = a u + b u
    • (a + b)u = ((a + b) u2, (a + b) u1)
    • a u + b u = (a u2 + b u2, a u1 + b u1) = ((a + b) u2, (a + b) u1)
    • Igual, satisfaz.
  8. Multiplicação por Escalar 1: 1u = u
    • 1u = (1 cdot u2, 1 cdot u1) = (u2, u1)
    • Diferente de u = (u1, u2) a menos que u1 = u2. Não satisfaz.
Conclusão para o Caso (c):
Os axiomas que são respeitados:
  • Comutatividade da Soma
  • Existência de Inversos
Os demais axiomas não são respeitados.

Resposta

Resumindo, analisando cada caso:
  • Caso (a):
    • Não respeita: Comutatividade e Associatividade da Soma.
    • Respeita: Os demais axiomas.
  • Caso (b):
    • Respeita: Comutatividade e Associatividade da Soma.
    • Não respeita: Todos os outros axiomas.
  • Caso (c):
    • Respeita: Comutatividade da Soma e Existência de Inversos.
    • Não respeita: Associatividade, Elemento Neutro, Compatibilidade com Escalares, Distributividades e Multiplicação por Escalar 1.
Portanto, apenas o Caso (a) e o Caso (c) parcialmente satisfazem alguns axiomas de espaço vetorial, mas nenhum dos três casos define completamente um espaço vetorial em R^2 conforme as operações dadas.

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