Em
, dados
e
vamos considerar as operações de soma +e produto por um escalar • definidas de três formas diferentes:
(a)
;
(b)
;
(c)
.
Em cada caso, dizer quais condições (axiomas) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
(a)
(b)
(c)
Em cada caso, dizer quais condições (axiomas) da definição de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
Passo 1
Beleza, vamos destrinchar essa questão juntos! O exercício está pedindo para a gente analisar, em cada um dos três casos apresentados, se as operações de soma e produto por escalar definidas realmente fazem com que o conjunto
seja um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar, em cada caso, quais são respeitados e quais não são.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os axiomas fundamentais que precisamos verificar para confirmar se estamos lidando com um espaço vetorial:
- Comutatividade da Soma:
- Associatividade da Soma:
- Elemento Neutro da Soma: Existe um vetor
tal que - Elemento Inverso da Soma: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escala:
- Distributividade do Escalar sobre a Soma de Vetores:
- Distributividade da Soma de Escalares sobre um Vetor:
- Multiplicação por Escalar 1:
Vamos agora verificar cada caso apresentado.
Passo 3
Caso (a):
Definições:
- Soma:
- Produto por escalar:
Análise dos Axiomas:
-
Comutatividade da Soma: Vamos ver se
. -
-
- Geralmente,
a menos que e . Portanto, não é comutativa.
-
-
Associatividade da Soma: Vamos checar se
. - Isso exigiria uma igualdade complicada entre as componentes, que geralmente não se sustenta. Não é associativa.
-
Elemento Neutro da Soma: Existe um vetor
tal que . - Suponha
. -
- Isso implica
e , então . Ok, existe elemento neutro.
- Suponha
-
Elemento Inverso da Soma: Para todo
, existe tal que . -
- Isso implica
e , então . Existe inverso.
-
-
Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escala:
-
-
-
- Igual, satisfaz.
-
-
Distributividade do Escalar sobre a Soma de Vetores:
-
-
-
- Igual, satisfaz.
-
-
Distributividade da Soma de Escalares sobre um Vetor:
-
-
- Igual, satisfaz.
-
-
Multiplicação por Escalar 1:
-
- Igual, satisfaz.
-
Conclusão para o Caso (a):
Os axiomas que não são respeitados:
- Comutatividade da Soma
- Associatividade da Soma
Os demais axiomas são respeitados.
Passo 4
Caso (b):
Definições:
- Soma:
- Produto por escalar:
Análise dos Axiomas:
-
Comutatividade da Soma:
- Multiplicação é comutativa, então
e . Comutativa.
- Multiplicação é comutativa, então
-
Associatividade da Soma: Vamos ver se
. -
-
- Igual, já que a multiplicação é associativa. Associativa.
-
-
Elemento Neutro da Soma: Existe um vetor
tal que . -
a menos que . - Portanto, não existe elemento neutro para todos os vetores.
-
-
Elemento Inverso da Soma: Para todo
, existe tal que . - Necessita que
e , o que implica e . - Portanto, único inverso é
, não válido para todos os vetores. Não existe inverso geral.
- Necessita que
-
Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escala:
-
-
-
-
, a menos que . Não satisfaz.
-
-
Distributividade do Escalar sobre a Soma de Vetores:
-
-
-
- Diferente de
. Não satisfaz.
-
-
Distributividade da Soma de Escalares sobre um Vetor:
-
-
- Diferente de
. Não satisfaz.
-
-
Multiplicação por Escalar 1:
-
- Diferente de
a menos que . Não satisfaz.
-
Conclusão para o Caso (b):
Os axiomas que são respeitados:
- Comutatividade da Soma
- Associatividade da Soma
Os demais axiomas não são respeitados.
Passo 5
Caso (c):
Definições:
- Soma:
- Produto por escalar:
Análise dos Axiomas:
-
Comutatividade da Soma:
- Igual, Comutativa.
-
Associatividade da Soma: Vamos verificar se
. -
-
- Não são iguais a menos que
e , o que só ocorre se . Não é associativa.
-
-
Elemento Neutro da Soma: Existe um vetor
tal que . -
- Para que seja igual a
, precisaríamos que e para todo , o que só ocorre se . Não existe elemento neutro.
-
-
Elemento Inverso da Soma: Para todo
, existe tal que . - Necessita que
e , ou seja, e . - Então,
. - Verificando:
, existe inverso.
- Necessita que
-
Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escala:
-
-
-
- A não ser que
, não satisfaz.
-
-
Distributividade do Escalar sobre a Soma de Vetores:
-
-
– aqui a definição do produto por escalar troca as componentes. - Já
- Não correspondem, não satisfaz.
-
-
Distributividade da Soma de Escalares sobre um Vetor:
-
-
- Igual, satisfaz.
-
-
Multiplicação por Escalar 1:
-
- Diferente de
a menos que . Não satisfaz.
-
Conclusão para o Caso (c):
Os axiomas que são respeitados:
- Comutatividade da Soma
- Existência de Inversos
Os demais axiomas não são respeitados.
Resposta
Resumindo, analisando cada caso:
-
Caso (a):
- Não respeita: Comutatividade e Associatividade da Soma.
- Respeita: Os demais axiomas.
-
Caso (b):
- Respeita: Comutatividade e Associatividade da Soma.
- Não respeita: Todos os outros axiomas.
-
Caso (c):
- Respeita: Comutatividade da Soma e Existência de Inversos.
- Não respeita: Associatividade, Elemento Neutro, Compatibilidade com Escalares, Distributividades e Multiplicação por Escalar 1.
Portanto, apenas o Caso (a) e o Caso (c) parcialmente satisfazem alguns axiomas de espaço vetorial, mas nenhum dos três casos define completamente um espaço vetorial em
conforme as operações dadas.