Exercício 11. Escreva equações vetoriais, paramétricas e gerais para os planos descritos abaixo: passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor , onde e .
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor . O conteúdo aqui é geometria de planos no espaço: para descrever um plano usamos um ponto e dois vetores diretores, depois podemos obter a forma vetorial, a forma paramétrica e a forma geral (a).
Passo 2
Primeiro encontramos um segundo vetor diretor do plano, que é
Passo 3
A equação vetorial do plano usa o ponto A e os diretores AB e vec v:
r = (1,1,0) + s,(0,-2,-1) + t,(2,1,0),
com s,tin R.
Passo 4
Da forma vetorial extraímos a forma paramétrica, escrevendo componentes:
x = 1 + 0cdot s + 2,t = 1 + 2t, y = 1 -2,s + 1cdot t = 1 -2s + t, z = 0 -1,s + 0cdot t = -s
Passo 5
Para obter a forma geral, calculamos uma normal n ao plano como ABtimes vec v:
n = (0,-2,-1)times(2,1,0) =(1,-2,4)
A equação geral é ncdotl((x,y,z)-(1,1,0)r)=0, ou seja