Exercício 11. Escreva equações vetoriais, paramétricas e gerais para os planos descritos abaixo:
pi passa pelos pontos A e B e é paralelo ao vetor v, onde [A]S=(1,1,0),[B]S=(1,-1,-1) e [v]B=(2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que passa pelos pontos A e B e é paralelo ao vetor vec v. O conteúdo aqui é geometria de planos no espaço: para descrever um plano usamos um ponto e dois vetores diretores, depois podemos obter a forma vetorial, a forma paramétrica e a forma geral (a x+b y+c z+d =0).

Passo 2

Primeiro encontramos um segundo vetor diretor do plano, que é
AB = [B] S - [A] S = (1,-1,-1) - (1,1,0) = (0,-2,-1)

Passo 3

A equação vetorial do plano usa o ponto A e os diretores AB e vec v:
r = (1,1,0) + s,(0,-2,-1) + t,(2,1,0),
com s,tin R.

Passo 4

Da forma vetorial extraímos a forma paramétrica, escrevendo componentes:
x = 1 + 0cdot s + 2,t = 1 + 2t, y = 1 -2,s + 1cdot t = 1 -2s + t, z = 0 -1,s + 0cdot t = -s

Passo 5

Para obter a forma geral, calculamos uma normal n ao plano como ABtimes vec v:
n = (0,-2,-1)times(2,1,0) =(1,-2,4)
A equação geral é ncdotl((x,y,z)-(1,1,0)r)=0, ou seja
(1,-2,4)cdot(x-1,;y-1,;z-0)=0
Longrightarrow x -1 -2y +2 +4z = 0
Longrightarrow x -2y +4z +1 = 0

Resposta

Equação vetorial:
r = (1,1,0) + s,(0,-2,-1) + t,(2,1,0), s,tin R
Equações paramétricas:
x = 1 + 2t, y = 1 -2s + t, z = -s
Equação geral:
x ;-;2y;+;4z;+;1;=;0

Exercícios relacionados