Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
Passo 1
O enunciado pede para decidir se
é um subespaço de .
Lembrando que um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
é um subespaço de
Lembrando que um subconjunto
-
, - para todo
escalar e todo tem-se , - para todos
tem-se .
Passo 2
Verificamos o elemento nulo:
o zero da adição em é a matriz
.
Como , segue que
.
o zero da adição em
Como
Passo 3
Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar.
Tomemos (ou no corpo em que
está definido) e
.
Então
Tomemos
Então
logo
.
Passo 4
Verificamos fechamento sob soma, procurando um contra-exemplo.
Em , por exemplo, definimos
Em
Cada uma satisfaz
, mas
tem
.
Isso mostra que mas
.
Isso mostra que