Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
S=B in M(n, n) mid det(B)=0

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
S = Bin M(n,n)mid det(B)=0
é um subespaço de M(n,n).
Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. 0in W,
  2. para todo alpha escalar e todo win W tem-se alpha win W,
  3. para todos w1,w2in W tem-se w1+w2in W.

Passo 2

Verificamos o elemento nulo:
o zero da adição em M(n,n) é a matriz 0.
Como det(0)=0, segue que 0in S.

Passo 3

Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar.
Tomemos alphainBbb R (ou no corpo em que M(n,n) está definido) e Bin S.
Então
det(alpha B)=alpha^ndet(B)=alpha^ncdot0=0,
logo alpha Bin S.

Passo 4

Verificamos fechamento sob soma, procurando um contra-exemplo.
Em M(2,2), por exemplo, definimos
B1=1&00&0, B2=0&00&1
Cada uma satisfaz det(Bi)=0, mas
B1+B2=1&00&1
tem det(B1+B2)=1neq0.
Isso mostra que B1,B2in S mas B1+B2notin S.

Resposta

S não é subespaço vetorial de M(n,n), pois não é fechado sob adição.

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