Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
S=f in F(R, R) mid f é derivável

Passo 1

O enunciado pede para determinar se
S = ,fin F(R,R) mid f é derivável éá
é um subespaço vetorial de F(R,R).
Conteúdo: teste de subespaço, que requer verificar três propriedades:
  1. 0in S.
  2. Se f,gin S, então f+gin S.
  3. Se fin S e alphainR, então alpha fin S.

Passo 2

Verificamos que a função zero
f0(x)=0
é derivável (sua derivada é f0'(x)=0 em todo R). Logo f0in S.

Passo 3

Sejam f,gin S. Como são deriváveis, existem f' e g' contínuos em R. A soma
(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)
existe e é bem definida para todo x, portanto f+g é derivável e f+gin S.

Passo 4

Seja alphainR e fin S. Então
(alpha f)'(x) = alpha,f'(x)
existe em todo x, mostrando que alpha f é derivável e alpha fin S.

Resposta

Sim. S é um subespaço vetorial de F(R,R).

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