Exercício 12. Determine uma equação geral do plano pi que contém as retas r e s, onde:
& r: (x-1)2=y2=z & s: x-1=y=z
são equações simétricas de r e s, com respeito a S. Determine também um vetor normal a pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano pi que contém as retas
r:x-12=y2=z e s:;x-1=y=z,
além de um vetor normal a esse plano.
Conteúdo: geometria analítica espacial, uso de vetores diretores, ponto comum e produto vetorial para achar normal e equação do plano.

Passo 2

Parametrizamos cada reta e extraímos o vetor diretor.
Para r, tomamos parâmetro t tal que
x-12=y2=z=t,
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x=1+2t, y=2t, z=t,
e o vetor diretor é vec vr=(2,2,1).
Para s, tomamos parâmetro u com
x-1=y=z=u,
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x=1+u, y=u, z=u,
e o vetor diretor é vec vs=(1,1,1).

Passo 3

Verificamos o ponto de interseção (que será um ponto do plano). De r e s igualando coordenadas:
1+2t=1+u, 2t=u, t=u,
isso só se satisfaz com t=0 e u=0, dando o ponto comum
P0=(1,0,0)

Passo 4

Calculamos o vetor normal vec n do plano como
vec n=vec vrtimesvec vs = i & j & k 2&2&1 1&1&1 =(2cdot1-1cdot1), i-(2cdot1-1cdot1), j+(2cdot1-2cdot1), k =(1,-1,0)

Passo 5

A equação geral do plano com normal vec n=(1,-1,0) passando por P0=(1,0,0) é
vec ncdotl((x,y,z)-(1,0,0)r)=0 Longrightarrow 1,(x-1)-1,(y-0)+0,(z-0)=0,
ou seja
x-y-1=0

Resposta

Equação geral do plano:
x - y - 1 = 0
Um vetor normal ao plano é
vec n = (1,-1,0)

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