Dados \vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(1,2), encontre r e s de modo que \vec{c}=r \vec{a}+s \vec{b}, sendo c o vetor:
(2,3)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(1,2) e \vec{c}=(2,3) e pede para expressar \vec{c} como combinação linear
\vec{c}=r\,\vec{a}+s\,\vec{b}.
O conteúdo aqui é resolução de um sistema linear 2\times2 para achar os coeficientes r e s.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, temos
r\cdot1 + s\cdot1 = 2,
r\cdot(-1) + s\cdot2 = 3.
Isso gera o sistema
\begin{cases} r + s = 2,\\\\ -\,r + 2s = 3. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos r:
r = 2 - s.
Substituindo na segunda:
-\,\bigl(2 - s\bigr) + 2s = 3 \quad\Longrightarrow\quad -2 + s + 2s = 3 \quad\Longrightarrow\quad 3s = 5 \quad\Longrightarrow\quad s = \tfrac{5}{3}.
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r = 2 - \tfrac{5}{3} = \tfrac{6}{3} - \tfrac{5}{3} = \tfrac{1}{3}.

Resposta

r = \tfrac{1}{3},\\ s = \tfrac{5}{3}.

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