Se \vec{a} / /(\sqrt{3}, 1),|\vec{a}|=m, \vec{b}=\frac{1}{3} \vec{a}^{\perp} e \vec{a}+\sqrt{3} \vec{b}=2(1, \sqrt{3}), calcule m^{4}-m^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que \vec{a} é paralelo a (\sqrt{3},1), tem módulo \lvert\vec{a}\rvert=m, que \vec{b}=\tfrac13\vec{a}^{\perp} e que
\vec{a}+\sqrt{3}\,\vec{b}=2\,(1,\sqrt{3}).
O conteúdo é resolver para o escalar de proporcionalidade de \vec{a}, usar a definição de vetor perpendicular em \mathbb{R}^2 e depois calcular m^4-m^2.

Passo 2

Como \vec{a} é paralelo a (\sqrt{3},1), escrevemos
\vec{a}=t\,(\sqrt{3},1).
O módulo é
\lvert\vec{a}\rvert =\lvert t\rvert\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} =2\,\lvert t\rvert =m.

Passo 3

Em \mathbb{R}^2 podemos tomar
\vec{a}^{\perp}=(-a_{2},a_{1}),
logo, para \vec{a}=(\sqrt{3}t,t) vem
\vec{a}^{\perp}=(-t,\sqrt{3}\,t), \quad \vec{b}=\tfrac13\vec{a}^{\perp} =\bigl(-\tfrac t3,\tfrac{\sqrt{3}\,t}{3}\bigr).

Passo 4

Agora calculamos
\vec{a}+\sqrt{3}\,\vec{b} =(\sqrt{3}t,t) +\sqrt{3}\,\bigl(-\tfrac t3,\tfrac{\sqrt{3}\,t}{3}\bigr) =\Bigl(\sqrt{3}t-\tfrac{\sqrt{3}t}{3},\,t+\tfrac{3t}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2\sqrt{3}t}{3},\,2t\Bigr).

Passo 5

Igualando a 2\,(1,\sqrt{3})=(2,2\sqrt{3}) obtemos o sistema
\tfrac{2\sqrt{3}t}{3}=2, \quad 2t=2\sqrt{3},
ambas as equações dão t=\sqrt{3}.

Passo 6

Como m=2\lvert t\rvert, temos m=2\sqrt{3}. Então
m^2=(2\sqrt{3})^2=12, \quad m^4=(m^2)^2=144,
e por fim
m^4-m^2=144-12=132.

Resposta

132

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