Encontre os vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos seus lados são M=\frac{1}{2}(-1,7), N=\frac{1}{2}(-3,-4) e P=\frac{1}{2}(4,3). Dica: Observe a relação entre um lado do retângulo e o segmento de reta que liga os pontos médios dos outros dois lados.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os vértices de um triângulo cujos pontos médios dos lados são
M = \frac12(-1,7),\quad N = \frac12(-3,-4),\quad P = \frac12(4,3).
O conteúdo é geometria analítica de triângulo e usaremos a relação vetorial de que o ponto médio de um segmento é a média dos extremos.

Passo 2

Denotemos os vértices por A, B e C, e associe
M = \frac{B + C}{2},\quad N = \frac{C + A}{2},\quad P = \frac{A + B}{2}.

Passo 3

Somando as três igualdades vetoriais:
(B+C) + (C+A) + (A+B) \;=\; 2M + 2N + 2P
2(A+B+C) \;=\; 2\,(M+N+P) \quad\Longrightarrow\quad A + B + C = M + N + P.

Passo 4

Isolando cada vértice, por exemplo
A = (A+B+C) - (B+C) = (M+N+P) - 2M = N + P - M,
e análogamente
B = M + P - N, \quad C = M + N - P.

Passo 5

Calculemos primeiro as coordenadas de M, N e P:
M = \Bigl(-\tfrac12,\;\tfrac72\Bigr),\quad N = \Bigl(-\tfrac32,\;-2\Bigr),\quad P = \Bigl(2,\;\tfrac32\Bigr).

Passo 6

Substituindo nas fórmulas de cada vértice:
A = N + P - M = \bigl(-\tfrac32,-2\bigr) + \bigl(2,\tfrac32\bigr) - \bigl(-\tfrac12,\tfrac72\bigr) = (1,-4),
B = M + P - N = \bigl(-\tfrac12,\tfrac72\bigr) + \bigl(2,\tfrac32\bigr) - \bigl(-\tfrac32,-2\bigr) = (3,7),
C = M + N - P = \bigl(-\tfrac12,\tfrac72\bigr) + \bigl(-\tfrac32,-2\bigr) - \bigl(2,\tfrac32\bigr) = (-4,0).

Resposta

Os vértices do triângulo são A=(1,-4), B=(3,7) e C=(-4,0).

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