Dados \vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(1,2), encontre r e s de modo que \vec{c}=r \vec{a}+s \vec{b}, sendo c o vetor:
(10,-9)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(1,2) e pede r e s tais que
\vec{c}=r\,\vec{a}+s\,\vec{b}
com \vec{c}=(10,-9). O conteúdo é combinação linear de vetores em \mathbb{R}^2; vamos igualar componente a componente e resolver o sistema.

Passo 2

Escrevendo a combinação nas componentes x e y, temos
\begin{cases} r + s = 10,\\\\ -\,r + 2\,s = -9. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos r:
r = 10 - s.
Substituindo na segunda:
-(10 - s) + 2s = -9 \quad\Longrightarrow\quad -10 + s + 2s = -9 \quad\Longrightarrow\quad 3s = 1 \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{1}{3}.
Então
r = 10 - \frac{1}{3} = \frac{30}{3} - \frac{1}{3} = \frac{29}{3}.

Resposta

r = \tfrac{29}{3},\quad s = \tfrac{1}{3}.

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