Dados \vec{u}=(1,2), \vec{v}=(3,-1) e \vec{w}=(0,2), encontrar:
3(\vec{u}+\vec{v})-2(\vec{v}-\vec{w})

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^2:
\vec{u}=(1,2),\qquad \vec{v}=(3,-1),\qquad \vec{w}=(0,2).
Pede-se calcular a expressão
3(\vec{u}+\vec{v})-2(\vec{v}-\vec{w}).
Vou listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Dados os componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  • Calcular a combinação linear/escalar indicada: primeiro somas e diferenças internas, depois multiplicações por escalares, e finalmente a subtração entre os resultados.

Passo 2

Lembrete prático sobre operações com vetores em \mathbb{R}^2 (tudo em componente):
  • Soma de vetores: se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então
\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2).
  • Subtração: \vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\;a_2-b_2). Alternativamente \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-1)\vec{b}.
  • Multiplicação por escalar: se c\in\mathbb{R} e \vec{a}=(a_1,a_2), então
c\vec{a}=(c a_1,\; c a_2).
Usamos essas regras componente a componente para calcular a expressão pedida.

Passo 3

Calcular \vec{u}+\vec{v} componente a componente:
\vec{u}+\vec{v}=(1+3,\;2+(-1))=(4,\;1).

Passo 4

Multiplicar por 3 o vetor obtido:
3(\vec{u}+\vec{v})=3(4,1)=(3\cdot4,\;3\cdot1)=(12,\;3).

Passo 5

Calcular \vec{v}-\vec{w} componente a componente:
\vec{v}-\vec{w}=(3-0,\;-1-2)=(3,\;-3).

Passo 6

Calcular 2(\vec{v}-\vec{w}) e então subtrair de 3(\vec{u}+\vec{v}):
2(\vec{v}-\vec{w})=2(3,-3)=(6,\;-6).
Agora
3(\vec{u}+\vec{v})-2(\vec{v}-\vec{w})=(12,3)-(6,-6)=(12-6,\;3-(-6))=(6,\;9).

Passo 7

Verificação alternativa (distribuindo escalares) para confirmar o resultado:
3(\vec{u}+\vec{v})-2(\vec{v}-\vec{w})=3\vec{u}+3\vec{v}-2\vec{v}+2\vec{w}=3\vec{u}+\vec{v}+2\vec{w}.
Calculando cada termo:
3\vec{u}=(3,6),\quad \vec{v}=(3,-1),\quad 2\vec{w}=(0,4).
Somando:
(3,6)+(3,-1)+(0,4)=(3+3+0,\;6-1+4)=(6,\;9),
mesmo resultado — tudo conferido.

Resposta

(6,9)

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