Verifique se o vetor vec{w} é combinação linear de vec{u} e vec{v}.
vec{u}=(9,-12), vec{v}=(2,1), vec{w}=(7,-2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Os vetores fornecidos são:
  • \vec{u} = (9,-12)
  • \vec{v} = (2,1)
  • \vec{w} = (7,-2)
A pergunta concreta é: existem escalares a e b tais que
a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{w} ?

Passo 2

Transformar a igualdade de vetores em um sistema de equações nas componentes. Se
a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w},
então, componente a componente, temos:
9a + 2b = 7
-12a + 1b = -2
Expliquei isso porque igualdade entre vetores em \mathbb{R}^2 significa igualdade das coordenadas x e y.

Passo 3

Escolher um método para resolver o sistema. Vou usar substituição (é simples e rápido aqui). A segunda equação é bem prática para isolar b. Da segunda equação:
-12a + b = -2
isola-se b:
b = -2 + 12a.
Expliquei: isolar significa deixar uma variável sozinha em um dos lados, para substituir na outra equação.

Passo 4

Substituir b na primeira equação e resolver para a. A primeira equação era
9a + 2b = 7.
Substituindo b = -2 + 12a,
9a + 2(-2 + 12a) = 7.
Agora expandir e combinar termos semelhantes:
9a - 4 + 24a = 7,
33a - 4 = 7.
Somar 4 em ambos os lados:
33a = 11.
Dividir por 33:
a = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}.
Expliquei cada operação: expandir parênteses, somar termos semelhantes, isolar a incógnita e dividir.

Passo 5

Encontrar b usando b = -2 + 12a e o valor de a:
b = -2 + 12\cdot\frac{1}{3} = -2 + 4 = 2.
Portanto os escalares candidatos são a=\frac{1}{3} e b=2.

Passo 6

Verificar que esses valores realmente funcionam — é sempre bom checar para evitar erro algébrico. Calcular a\vec{u}+b\vec{v} com a=\frac{1}{3} e b=2.
Componente x:
\frac{1}{3}\cdot 9 + 2\cdot 2 = 3 + 4 = 7.
Componente y:
\frac{1}{3}\cdot(-12) + 2\cdot 1 = -4 + 2 = -2.
Como as duas componentes coincidem com \vec{w}=(7,-2), a verificação confirma.

Passo 7

Breve observação extra (útil na prova): a solução de a e b foi única. Isso faz sentido porque as colunas formadas por \vec{u} e \vec{v} formam uma matriz com determinante diferente de zero:
\det\begin{pmatrix}9 & 2 \\\\ -12 & 1\end{pmatrix} = 9\cdot 1 - 2\cdot(-12) = 9 + 24 = 33 \neq 0,
logo \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes em \mathbb{R}^2 e qualquer combinação para obter \vec{w} é única.

Resposta

Sim. \displaystyle \vec{w}=\frac{1}{3}\vec{u}+2\vec{v}

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