Dados \vec{u}=(1,2), \vec{v}=(3,-1) e \vec{w}=(0,2), encontrar:
\frac{1}{2} \vec{v}-3 \vec{v}+\frac{1}{5} \vec{w}

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(1,2), \vec{v}=(3,-1) e \vec{w}=(0,2) e pede para calcular a expressão
\frac{1}{2}\vec{v}-3\vec{v}+\frac{1}{5}\vec{w}.
Portanto, o que precisa ser feito é aplicar multiplicação por escalar e soma/subtração de vetores para obter o vetor resultante.

Passo 2

Lembrete sobre operações com vetores no plano (pequena aula prática).
  • Multiplicação por escalar: se \alpha é um número e \vec{a}=(a_1,a_2), então
\alpha\vec{a}=(\alpha a_1,\alpha a_2).
Isto significa multiplicar cada componente do vetor pelo escalar.
  • Soma de vetores: se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então
\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2).
Ou seja, soma-se componente a componente.
Estas duas regras são tudo que precisamos para resolver o exercício.

Passo 3

Primeiro simplificamos os coeficientes que multiplicam \vec{v}:
\frac{1}{2}\vec{v}-3\vec{v}=\Big(\frac{1}{2}-3\Big)\vec{v}.
Calcule o número \dfrac{1}{2}-3:
\frac{1}{2}-3=\frac{1}{2}-\frac{6}{2}=-\frac{5}{2}.
Logo a expressão fica
-\frac{5}{2}\vec{v}+\frac{1}{5}\vec{w}.

Passo 4

Agora aplicamos multiplicação por escalar em \vec{v}=(3,-1):
-\frac{5}{2}\vec{v}=-\frac{5}{2}(3,-1)=\Big(-\frac{5}{2}\cdot 3,\;-\frac{5}{2}\cdot(-1)\Big).
Calcule as componentes:
-\frac{5}{2}\cdot 3=-\frac{15}{2},\qquad -\frac{5}{2}\cdot(-1)=\frac{5}{2}.
Portanto
-\frac{5}{2}\vec{v}=\Big(-\frac{15}{2},\;\frac{5}{2}\Big).

Passo 5

Agora multiplicamos \vec{w}=(0,2) pelo escalar \dfrac{1}{5}:
\frac{1}{5}\vec{w}=\frac{1}{5}(0,2)=\Big(\frac{1}{5}\cdot 0,\;\frac{1}{5}\cdot 2\Big).
Calcule as componentes:
\frac{1}{5}\cdot 0=0,\qquad \frac{1}{5}\cdot 2=\frac{2}{5}.
Logo
\frac{1}{5}\vec{w}=\Big(0,\;\frac{2}{5}\Big).

Passo 6

Somamos os dois vetores obtidos componente a componente:
\Big(-\frac{15}{2},\;\frac{5}{2}\Big)+\Big(0,\;\frac{2}{5}\Big)=\Big(-\frac{15}{2}+0,\;\frac{5}{2}+\frac{2}{5}\Big).
Calcule a segunda componente com denominador comum 10:
\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{25}{10}+\frac{4}{10}=\frac{29}{10}.
A primeira componente já é -\dfrac{15}{2}.

Passo 7

Portanto o vetor resultante da expressão é
\Big(-\frac{15}{2},\;\frac{29}{10}\Big).

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{15}{2},\;\frac{29}{10}\right)

Exercícios relacionados