Dados \vec{u}=(1,2), \vec{v}=(3,-1) e \vec{w}=(0,2), encontrar:
3\left(2 \vec{v}-\frac{1}{3} \vec{w}\right)

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede que seja calculada uma combinação linear. Informação dada:
  • \vec{u}=(1,2)
  • \vec{v}=(3,-1)
  • \vec{w}=(0,2)
O que pedir: calcular
3\left(2\vec{v}-\frac{1}{3}\vec{w}\right).

Passo 2

Entendimento da tarefa e estratégia (sem resolver ainda): primeiro calcula-se o que está dentro dos parênteses, ou seja 2\vec{v} e \dfrac{1}{3}\vec{w}; em seguida faz-se a subtração vetorial; por fim multiplica-se o resultado por 3. Lembrete de conceito útil: multiplicação de um vetor por escalar significa multiplicar cada componente do vetor pelo escalar. Por exemplo, se \vec{a}=(a_1,a_2) e k é um número, então
k\vec{a}=(k a_1,\\ k a_2).

Passo 3

Calcular 2\vec{v}. Usando \vec{v}=(3,-1) e a definição de multiplicação por escalar:
2\vec{v}=2(3,-1)=(2\cdot 3,\\\ 2\cdot(-1))=(6,\,-2).

Passo 4

Calcular \dfrac{1}{3}\vec{w}. Usando \vec{w}=(0,2):
\frac{1}{3}\vec{w}=\frac{1}{3}(0,2)=\left(\frac{1}{3}\cdot 0,\\ \frac{1}{3}\cdot 2\right)=\left(0,\\ \frac{2}{3}\right).

Passo 5

Fazer a subtração vetorial 2\vec{v}-\dfrac{1}{3}\vec{w}. Subtração componente a componente:
2\vec{v}-\frac{1}{3}\vec{w}=(6,-2)-\left(0,\frac{2}{3}\right)=\left(6-0,\\\ -2-\frac{2}{3}\right).
Calcular a segunda componente: -2-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{6}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{8}{3}. Logo
2\vec{v}-\frac{1}{3}\vec{w}=\left(6,\\\ -\frac{8}{3}\right).

Passo 6

Multiplicar o vetor obtido por 3:
3\left(6,-\frac{8}{3}\right)=\left(3\cdot 6,\\\ 3\cdot\left(-\frac{8}{3}\right)\right)=(18,\\\ -8).
Observe que na segunda componente o 3 cancela com o denominador 3, ficando -8.

Passo 7

Verificação alternativa (checagem rápida): distribuir o 3 usando propriedades de escalares:
3\left(2\vec{v}-\frac{1}{3}\vec{w}\right)=6\vec{v}-\vec{w}.
Calcular 6\vec{v}=6(3,-1)=(18,-6) e 6\vec{v}-\vec{w}=(18,-6)-(0,2)=(18,-8). Confere com o resultado anterior.

Resposta

(18,-8)

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