Dados os v1=(1,4,1), v2=(0,3,1) e v3=(2,4,0) verificar se são LI ou LD.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3,
v1=(1,4,1), v2=(0,3,1) e v3=(2,4,0), e pede para verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Como são três vetores em R^3, podemos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante: se for diferente de zero, o conjunto é LI; se for zero, é LD.

Passo 2

Formamos a matriz
M = 1 & 0 & 2 4 & 3 & 4 1 & 1 & 0 ,
onde a primeira coluna é v1, a segunda é v2 e a terceira é v3. Em R^3 um conjunto de três vetores é LI se, e somente se, det M neq 0.

Passo 3

Calculamos det M pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha:
det M = 1cdot(3cdot 0 - 4cdot 1) - 0cdot(4cdot 0 - 4cdot 1) + 2cdot(4cdot 1 - 3cdot 1) = 1cdot(-4) - 0 + 2cdot(1) = -4 + 2 = -2
Como det M = -2 neq 0, concluímos que a matriz é invertível.

Passo 4

Pela condição de determinante não nulo, os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são LI.

Exercícios relacionados