Nos Exercícios 9-24, use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
12. [rrr15 & 15 & -25 15 & 15 & 110 15 & -45 & 110]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = tfrac15 & tfrac15 & -tfrac25[6pt] tfrac15 & tfrac15 & tfrac110[6pt] tfrac15 & -tfrac45 & tfrac110
usando o método de Gauss–Jordan. Para isso, vamos montar a matriz aumentada l[A mid Ir] e aplicar operações elementares até obter l[I mid A^-1r].]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
[ccc|ccc tfrac15 & tfrac15 & -tfrac25 & 1 & 0 & 0 tfrac15 & tfrac15 & tfrac110 & 0 & 1 & 0 tfrac15 & -tfrac45 & tfrac110 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Tornamos o pivô da primeira linha igual a 1 multiplicando R1 por 5:
R1 5,R1 Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 1 & -2 & 5 & 0 & 0 tfrac15 & tfrac15 & tfrac110 & 0 & 1 & 0 tfrac15 & -tfrac45 & tfrac110 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Eliminamos a coluna 1 nas linhas 2 e 3 usando R1:
R2 R2 - tfrac15R1, R3 R3 - tfrac15R1
resultando em
[ccc|ccc 1 & 1 & -2 & 5 & 0 & 0 0 & 0 & tfrac12 & -1 & 1 & 0 0 & -1 & tfrac12 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 5

Para obter o pivô em coluna 2, trocamos R2 e R3, depois normalizamos R2:
R2 rightarrow R3, R2 -1cdot R2 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 1 & -2 & 5 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac12 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & tfrac12 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 6

Eliminamos a coluna 2 em R1 e R3:
R1 R1 - R2, R3 R3 - 0cdot R2 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & -tfrac32 & 4 & 0 & 1 0 & 1 & -tfrac12 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & tfrac12 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 7

Por fim, normalizamos R3 e eliminamos a coluna 3 em R1 e R2:
R3 2,R3, R1 R1 + tfrac32,R3, R2 R2 + tfrac12,R3
Longrightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1 & -2 & 2 & 0 ]

Resposta

A inversa é
A^-1 = 1 & 3 & 1 0 & 1 & -1 -2 & 2 & 0

Exercícios relacionados