Mostre que o conjunto S=(1,2,1),(2,0,-1) é um conjunto de geradores para o subespaço U= (x, y, z) in R^3 mid 2 x-3 y+4 z=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
S=(1,2,1),,(2,0,-1)
é um conjunto de geradores do subespaço
U=(x,y,z)inR^3mid 2x-3y+4z=0
Aqui vamos usar conceitos de subespaço, combinação linear e igualdade entre conjuntos via inclusão dupla.

Passo 2

Mostramos que Ssubset U.
Para (1,2,1) temos
2cdot1-3cdot2+4cdot1=2-6+4=0,
e para (2,0,-1)
2cdot2-3cdot0+4(-1)=4-0-4=0
Como ambos satisfazem a equação de U e U é subespaço, qualquer combinação linear de vetores de S também satisfaz a mesma equação. Portanto
span(S)subset U

Passo 3

Agora mostramos que
Procuramos escalares tais que
Das componentes obtemos o sistema
Da segunda equação . Então a primeira componente da combinação é
Como , da condição segue
logo coincide com acima. Assim encontramos que expressam como combinação de elementos de , ou seja

Passo 4

Das inclusões span(S)subset U e Usubset span(S) concluímos
span(S)=U
Portanto S é de fato um conjunto de geradores de U.

Resposta

S=(1,2,1),(2,0,-1) gera o subespaço U=(x,y,z)inR^3mid 2x-3y+4z=0.

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