Mostre que o conjunto
é um conjunto de geradores para o subespaço
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um conjunto de geradores do subespaço
Aqui vamos usar conceitos de subespaço, combinação linear e igualdade entre conjuntos via inclusão dupla.
Passo 2
Mostramos que
.
Para temos
Para
e para
Como ambos satisfazem a equação de
e
é subespaço, qualquer combinação linear de vetores de
também satisfaz a mesma equação. Portanto
Passo 3
Agora mostramos que
Procuramos escalares
tais que
Das componentes obtemos o sistema
Da segunda equação . Então a primeira componente da combinação é
Como
, da condição
segue
logo coincide com
acima. Assim encontramos
que expressam
como combinação de elementos de
, ou seja
Passo 4
Das inclusões
span(S)subset U e
Usubset span(S) concluímos
Portanto
S é de fato um conjunto de geradores de
U .