Nos Exercícios 9-24, use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
17. [rrrr2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5
usando o método de Gauss–Jordan. Para isso montamos a matriz aumentada (Amid I) e aplicamos operações elementares até obter (Imid A^-1).

Passo 2

Montamos
(Amid I)= 2 & -4 & 0 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 & 0 1 & 2 &12 & 0 &mid& 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 &mid& 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & -4&-5 &mid& 0 & 0 & 0 & 1
Pivot em (1,1): dividimos a linha 1 por 2 e eliminamos abaixo
R1& tfrac12R1, R2& R2 - R1
Fica
1 & -2 & 0 & 0 &mid& tfrac12 & 0 & 0 & 0 0 & 4 &12& 0 &mid& -tfrac12&1&0&0 0 & 0 &2 & 0 &mid& 0&0&1&0 0 & -1 &-4&-5&mid& 0&0&0&1

Passo 3

Pivot em (2,2): dividimos a linha 2 por 4 e eliminamos em linhas 1 e 4
R2& tfrac14R2, R1& R1+2R2, R4& R4+R2
Obtemos
1 & 0 & 6 & 0 &mid& tfrac14 & tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & 0 &mid& -tfrac18&tfrac14&0&0 0 & 0 & 2 & 0 &mid& 0&0&1&0 0 & 0 &-1&-5&mid& -tfrac18&tfrac14&0&1

Passo 4

Pivot em (3,3): dividimos a linha 3 por 2 e eliminamos em linhas 1, 2 e 4
R3& tfrac12R3, R1& R1-6R3, R2& R2-3R3, R4& R4+R3
Chegamos a
1 & 0 & 0 & 0 &mid& tfrac14 & tfrac12 & -3 & 0 0 & 1 & 0 & 0 &mid& -tfrac18&tfrac14&-tfrac32&0 0 & 0 & 1 & 0 &mid& 0&0&tfrac12&0 0 & 0 & 0 &-5&mid& -tfrac18&tfrac14&tfrac12&1

Passo 5

Pivot em (4,4): dividimos a linha 4 por -5
R4 -tfrac15R4,
obtendo
1&0&0&0&mid&tfrac14&tfrac12&-3&0 0&1&0&0&mid&-tfrac18&tfrac14&-tfrac32&0 0&0&1&0&mid&0&0&tfrac12&0 0&0&0&1&mid&tfrac140&-tfrac120&-tfrac110&-tfrac15
Como as colunas 1–3 já não têm entradas em coluna 4, terminamos aqui.

Resposta

A inversa é
A^-1 = tfrac14 & tfrac12 & -3 & 0 -tfrac18 & tfrac14 & -tfrac32& 0 0 & 0 & tfrac12 & 0 tfrac140& -tfrac120& -tfrac110& -tfrac15

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