Dados
e
em
, verifique se a função definida por
é um produto interno em
.
Passo 1
O enunciado define, para
e
em
, a aplicação
Para ser um produto interno em
, essa forma bilinear deve satisfazer:
. linearidade em cada argumento;
. simetria (
);
. positividade definida (
para
).
Passo 2
Verificação da bilinearidade no primeiro argumento:
para e escalar
,
[\langle u+u’,v\rangle
= (a+a’)c ; - ; 2(a+a’)d ; + ; 4(b+b’)d
= \bigl(ac - 2ad + 4bd\bigr) + \bigl(a’c - 2a’d + 4b’d\bigr)
= \langle u,v\rangle + \langle u’,v\rangle,
]
[\langle \lambda u,v\rangle
= (\lambda a)c ; - ; 2(\lambda a)d ; + ; 4(\lambda b)d
= \lambda,(ac - 2ad + 4bd)
= \lambda,\langle u,v\rangle.
]
Analogamente mostra‐se linearidade em . Logo, é de fato bilinear.
para
[\langle u+u’,v\rangle
= (a+a’)c ; - ; 2(a+a’)d ; + ; 4(b+b’)d
= \bigl(ac - 2ad + 4bd\bigr) + \bigl(a’c - 2a’d + 4b’d\bigr)
= \langle u,v\rangle + \langle u’,v\rangle,
]
[\langle \lambda u,v\rangle
= (\lambda a)c ; - ; 2(\lambda a)d ; + ; 4(\lambda b)d
= \lambda,(ac - 2ad + 4bd)
= \lambda,\langle u,v\rangle.
]
Analogamente mostra‐se linearidade em
Passo 3
Verificação da simetria:
Os dois não coincidem pois em
aparece o termo
e em
aparece
. Portanto a forma não é simétrica.
Passo 4
Como a simetria é condição necessária para um produto interno, concluímos que a aplicação dada não é um produto interno em
.
Resposta
A função definida por
não é um produto interno em
pois falha na propriedade de simetria.