Dados u=(a, b) e v=(c, d) em R^2, verifique se a função definida por lang<= u, vrang<==a c-2 a d+4 b d é um produto interno em R^2.

Passo 1

O enunciado define, para u=(a,b) e v=(c,d) em R^2, a aplicação
lang<= u,vrang<= = ac ;-;2,a,d ;+;4,b,d
Para ser um produto interno em R^2, essa forma bilinear deve satisfazer:
1. linearidade em cada argumento;
2. simetria ( lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=);
3. positividade definida ( lang<= u,urang<=>0 para uneq0).

Passo 2

Verificação da bilinearidade no primeiro argumento:
para u'=(a',b') e escalar lambda,
[\langle u+u’,v\rangle
= (a+a’)c ; - ; 2(a+a’)d ; + ; 4(b+b’)d
= \bigl(ac - 2ad + 4bd\bigr) + \bigl(a’c - 2a’d + 4b’d\bigr)
= \langle u,v\rangle + \langle u’,v\rangle,
]
[\langle \lambda u,v\rangle
= (\lambda a)c ; - ; 2(\lambda a)d ; + ; 4(\lambda b)d
= \lambda,(ac - 2ad + 4bd)
= \lambda,\langle u,v\rangle.
]
Analogamente mostra‐se linearidade em v. Logo, é de fato bilinear.

Passo 3

Verificação da simetria:
lang<= u,vrang<= = ac ;-;2ad ;+;4bd,
lang<= v,urang<= = ca ;-;2cb ;+;4db = ac ;-;2bc ;+;4bd
Os dois não coincidem pois em lang<= u,vrang<= aparece o termo -2ad e em lang<= v,urang<= aparece -2bc. Portanto a forma não é simétrica.

Passo 4

Como a simetria é condição necessária para um produto interno, concluímos que a aplicação dada não é um produto interno em R^2.

Resposta

A função definida por lang<= u,vrang<= = ac -2ad +4bd não é um produto interno em R^2 pois falha na propriedade de simetria.

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