Faça a identificaçâo entre as cônicas e suas equaçōes, preenchendo com a letra correspondente a lacuna a esquerda de cada conica.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificarmos que tipo de cônica corresponde a cada uma das equações dadas. Estamos lidando com cônicas, que são figuras geométricas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Para resolver isso, vamos precisar reconhecer a forma padrão de cada cônica e comparar com as equações fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente os tipos de cônicas e suas equações padrão:
- Círculo: Tem a forma
, onde é o centro e é o raio. - Elipse: Sua equação padrão é
, onde e são os semi-eixos. - Hipérbole: Tem a forma
ou o contrário, dependendo da orientação. - Parábola: Sua equação padrão é
ou similar, dependendo da orientação.
Agora, vamos analisar cada equação do exercício.
Passo 3
a)
Vamos tentar colocar essa equação na forma padrão. Dividindo ambos os lados por 2:
Mas isso não faz sentido porque não podemos dividir por zero. Isso indica que a única solução possível é
e
, ou seja, o ponto de origem. Portanto, essa equação representa um ponto (uma cônica degenerada).
Passo 4
b)
Vamos reorganizar a equação agrupando
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para
e
:
Para
:
Adicionar e subtrair
dentro do parêntese:
Para
:
Adicionar e subtrair
dentro do parêntese:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Adicionando 9 aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Dividindo por 12:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole.
Passo 5
c)
Vamos completar o quadrado para
:
Adicionamos
aos dois lados:
Isso simplifica para:
A única solução é
, isto é, uma linha vertical. No entanto, como a equação não envolve
, isso indica uma parábola degenerada que é uma linha.
Passo 6
d)
Vamos completar o quadrado para
e
:
Para
:
Adicionando
aos dois lados:
Para
:
Adicionar e subtrair
dentro do parêntese:
Substituindo de volta:
Essa é a forma padrão de um círculo com centro em
e raio
.
Resposta
a) Ponto
b) Hipérbole
c) Parabola degenerada
d) Círculo
b) Hipérbole
c) Parabola degenerada
d) Círculo