Faça a identificaçâo entre as cônicas e suas equaçōes, preenchendo com a letra correspondente a lacuna a esquerda de cada conica.
a) x^2+2 y^2=0
b) -3 x^2+43 y^2+6 x+8 y+21=0
c) x^2-4 x+4=0
d) x^2+y^2-8 x+2 y-5=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificarmos que tipo de cônica corresponde a cada uma das equações dadas. Estamos lidando com cônicas, que são figuras geométricas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Para resolver isso, vamos precisar reconhecer a forma padrão de cada cônica e comparar com as equações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente os tipos de cônicas e suas equações padrão:
  • Círculo: Tem a forma (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h,k) é o centro e r é o raio.
  • Elipse: Sua equação padrão é (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1, onde a e b são os semi-eixos.
  • Hipérbole: Tem a forma (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1 ou o contrário, dependendo da orientação.
  • Parábola: Sua equação padrão é (y - k) = a(x - h)^2 ou similar, dependendo da orientação.
Agora, vamos analisar cada equação do exercício.

Passo 3

a) x^2 + 2 y^2 = 0
Vamos tentar colocar essa equação na forma padrão. Dividindo ambos os lados por 2:
x^20 + y^20 = 0
Mas isso não faz sentido porque não podemos dividir por zero. Isso indica que a única solução possível é x = 0 e y = 0, ou seja, o ponto de origem. Portanto, essa equação representa um ponto (uma cônica degenerada).

Passo 4

b) -3 x^2 + 43 y^2 + 6 x + 8 y + 21 = 0
Vamos reorganizar a equação agrupando x e y:
-3x^2 + 6x + 43y^2 + 8y = -21
Agora, vamos completar o quadrado para x e y:
Para x:
-3(x^2 - 2x)
Adicionar e subtrair 1 dentro do parêntese:
-3[(x^2 - 2x + 1) - 1] = -3(x - 1)^2 + 3
Para y:
43(y^2 + 6y)
Adicionar e subtrair 9 dentro do parêntese:
43[(y^2 + 6y + 9) - 9] = 43(y + 3)^2 - 12
Substituindo de volta na equação:
-3(x - 1)^2 + 3 + 43(y + 3)^2 - 12 = -21
Simplificando:
-3(x - 1)^2 + 43(y + 3)^2 - 9 = -21
Adicionando 9 aos dois lados:
-3(x - 1)^2 + 43(y + 3)^2 = -12
Multiplicando ambos os lados por -1:
3(x - 1)^2 - 43(y + 3)^2 = 12
Dividindo por 12:
(x - 1)^24 - (y + 3)^29 = 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole.

Passo 5

c) x^2 - 4 x + 4 = 0
Vamos completar o quadrado para x:
x^2 - 4x = -4
Adicionamos 4 aos dois lados:
x^2 - 4x + 4 = 0
Isso simplifica para:
(x - 2)^2 = 0
A única solução é x = 2, isto é, uma linha vertical. No entanto, como a equação não envolve y, isso indica uma parábola degenerada que é uma linha.

Passo 6

d) x^2 + y^2 - 8 x + 2 y - 5 = 0
Vamos completar o quadrado para x e y:
Para x:
x^2 - 8x = -y^2 - 2y + 5
Adicionando 16 aos dois lados:
(x^2 - 8x + 16) = -y^2 - 2y + 21
(x - 4)^2 = -y^2 - 2y + 21
Para y:
-y^2 - 2y = -(y^2 + 2y)
Adicionar e subtrair 1 dentro do parêntese:
-(y^2 + 2y + 1 - 1) = -(y + 1)^2 + 1
Substituindo de volta:
(x - 4)^2 = -(y + 1)^2 + 21 + 1
(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 22
Essa é a forma padrão de um círculo com centro em (4, -1) e raio raiz22.

Resposta

a) Ponto
b) Hipérbole
c) Parabola degenerada
d) Círculo

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