Sejam:
V=lang<=(l 1 1 0 0 ),(c 0 1 -1 0 ),(l 0 0 1 1 )rang<= v=(c 3 3 -6 -2 )
Encontre a projeção ortogonal de v em V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor v no espaço de quatro dimensões, ℝ⁴, e um subespaço V gerado por três vetores específicos. A missão aqui é encontrar a projeção ortogonal de v em V. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com vetores, espaços vetoriais e projeções. Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar um vetor em um subespaço, usar bases de vetores e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que geram o subespaço V. São eles:
u1 = 1 1 0 0 , u2 = 0 1 -1 0 , u3 = 0 0 1 1
Queremos ter certeza de que esses três vetores formam uma base de V, ou seja, que eles são linearmente independentes. Se forem, podemos usá-los diretamente para encontrar a projeção.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores u₁, u₂ e u₃ são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação desses vetores pode dar o vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante reduzido ou fazemos uma análise de dependência.
No nosso caso, como temos três vetores em ℝ⁴, é provável que eles sejam linearmente independentes, já que não há sobreposição óbvia entre eles. Assim, consideramos que eles formam uma base de V.

Passo 4

Agora, queremos expressar a projeção de v como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, vamos procurar coeficientes a, b e c tais que:
projV(v) = au1 + bu2 + cu3
Nosso vetor v é:
v = 3 3 -6 -2

Passo 5

Para encontrar os coeficientes a, b e c, vamos usar a condição de ortogonalidade. Isso significa que o vetor v - projV(v) deve ser ortogonal a cada um dos vetores da base de V. Em outras palavras:
v - (au1 + bu2 + cu3) perp u1, u2, u3
Isso resulta em um sistema de equações onde o produto interno de v - (au1 + bu2 + cu3) com cada ui é zero:
(v - au1 - bu2 - cu3) cdot u1 = 0 (v - au1 - bu2 - cu3) cdot u2 = 0 (v - au1 - bu2 - cu3) cdot u3 = 0

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas equações:
  1. Primeira equação:
Calculando o produto interno:
  1. Segunda equação:
Calculando o produto interno:
  1. Terceira equação:
Calculando o produto interno:

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
6 - 2a - b = 0 9 - a = 0 -8 + b - 2c = 0
Vamos resolver passo a passo:
  1. Da segunda equação: 9 - a = 0 Rightarrow a = 9.
  2. Substituindo a = 9 na primeira equação:
6 - 2(9) - b = 0 Rightarrow 6 - 18 - b = 0 Rightarrow -12 - b = 0 Rightarrow b = -12
  1. Substituindo b = -12 na terceira equação:
-8 + (-12) - 2c = 0 Rightarrow -20 - 2c = 0 Rightarrow -2c = 20 Rightarrow c = -10

Resposta

A projeção ortogonal de v em V é:
projV(v) = 9u1 - 12u2 - 10u3 = 9 1 1 0 0 - 12 0 1 -1 0 - 10 0 0 1 1 = 9 9 0 0 + 0 -12 12 0 + 0 0 -10 -10 = 9 -3 2 -10
Então, a projeção ortogonal de v em V é:
boxed 9 -3 2 -10

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