Estabeleça para quais valores do parâmetro a seguinte matriz é diagonalizável:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada 3x3 e queremos descobrir para quais valores de k essa matriz é diagonalizável. Diagonalizar uma matriz significa transformá-la numa matriz diagonal através de uma mudança de base, o que facilita muito os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz A . Como A é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores são 3 , k e 1 .
Passo 3
Agora, para a matriz ser diagonalizável, precisamos que o número de autovetores seja igual ao número de autovalores distintos. Se todos os autovalores são diferentes, a matriz é automaticamente diagonalizável. Então, se k for diferente de 3 e 1 , temos três autovalores distintos e a matriz é diagonalizável.
Passo 4
Mas e se k for igual a 3 ou 1 ? Nesse caso, teremos autovalores repetidos. Precisamos verificar se a multiplicidade algébrica (quantas vezes o autovalor aparece) é igual à multiplicidade geométrica (quantos autovetores independentes temos para esse autovalor).
Passo 5
Vamos analisar quando k = 3 :
Os autovalores são 3 , 3 , e 1 .
Precisamos de dois autovetores para o autovalor 3 . Olhando a matriz, vemos que ela já é quase diagonal, o que indica que temos os autovetores necessários. Portanto, quando k = 3 , a matriz também é diagonalizável.
Passo 6
Agora, vamos ver quando k = 1 :
Os autovalores são 3 , 1 , e 1 .
Precisamos de dois autovetores para o autovalor 1 . Observando a matriz, notamos que ela permite a existência dos autovetores necessários. Assim, quando k = 1 , a matriz também é diagonalizável.
Resposta
A matriz A é diagonalizável para todo valor real de k . Ou seja, para qualquer k in R .