Verifique que a seguinte matriz é diagonalizável, escreva uma matriz diagonal semelhante e uma matriz de mudança de base correspondente.
A=(cccc 2 & 0 & -3 & 0 0 & -1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a matriz A é diagonalizável, e caso seja, escrever uma matriz diagonal similar a A e uma matriz de mudança de base correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores (ou valores próprios) e autovetores. Vamos precisar encontrar os autovalores de A , verificar se existem autovetores suficientes para diagonalizá-la e, por fim, construir as matrizes solicitadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de A . Autovalores são números lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante de A - lambda I .

Passo 3

Montamos a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & 0 & -3 & 0 0 & -1 - lambda & 0 & 0 -1 & 0 & -lambda & 0 -1 & 0 & 1 & 1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante de uma matriz 4x4 pode ser trabalhoso, mas notamos que há muitos zeros, o que facilita a expansão. Podemos expandir pelo segundo coluna, já que há zeros que simplificam os cálculos:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot det 2 - lambda & -3 & 0 -1 & -lambda & 0 -1 & 1 & 1 - lambda
Agora, precisamos calcular o determinante da matriz 3x3 resultante.

Passo 5

Calculando o determinante da matriz 3x3:
det 2 - lambda & -3 & 0 -1 & -lambda & 0 -1 & 1 & 1 - lambda = (2 - lambda) cdot det -lambda & 0 1 & 1 - lambda + 3 cdot det -1 & 0 -1 & 1 - lambda
Calculando os determinantes menores:
(2 - lambda)( (-lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 1 ) + 3 ( (-1)(1 - lambda) - 0 cdot (-1) ) = (2 - lambda)( -lambda (1 - lambda) ) + 3 (-1)(1 - lambda)
Simplificando:
= -(2 - lambda)lambda(1 - lambda) - 3(1 - lambda)
= -lambda(2 - lambda)(1 - lambda) - 3(1 - lambda)
Factorizamos (1 - lambda) :
= (1 - lambda)( -lambda(2 - lambda) - 3 )
= (1 - lambda)( -2lambda + lambda^2 - 3 )
= (1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 3)
= (1 - lambda)(lambda - 3)(lambda + 1)

Passo 6

Agora, voltando ao determinante original:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot (1 - lambda)(lambda - 3)(lambda + 1)
Então, os autovalores são as soluções da equação det(A - lambda I) = 0 :
(-1 - lambda)(1 - lambda)(lambda - 3)(lambda + 1) = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = -1, lambda2 = 1, lambda3 = 3, lambda4 = -1

Passo 7

Observamos que o autovalor lambda = -1 tem multiplicidade algébrica 2, enquanto os outros autovalores têm multiplicidade 1. Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
Vamos verificar os autovetores para cada autovalor.

Passo 8

Primeiro, para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
A + I = 3 & 0 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 & 2
Resolvendo o sistema, encontramos os autovetores correspondentes a lambda = -1 .
Após simplificar, obtemos dois autovetores linearmente independentes para lambda = -1 .

Passo 9

Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
A - I = 1 & 0 & -3 & 0 0 & -2 & 0 & 0 -1 & 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 & 0
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor para lambda = 1 .

Passo 10

Para lambda = 3 :
Resolvemos (A - 3I)v = 0 :
A - 3I = -1 & 0 & -3 & 0 0 & -4 & 0 & 0 -1 & 0 & -3 & 0 -1 & 0 & 1 & -2
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor para lambda = 3 .

Passo 11

Como encontramos um total de 4 autovetores linearmente independentes (dois para lambda = -1 , um para lambda = 1 e um para lambda = 3 ), isso significa que a matriz A é diagonalizável.

Passo 12

Agora, vamos construir a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
D = -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3
E a matriz de mudança de base P formada pelos autovetores correspondentes:
P = v1 & v2 & v3 & v4
Onde v1, v2, v3, v4 são os autovetores encontrados anteriormente.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma matriz diagonal similar a A é:
D = -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3
E uma matriz de mudança de base correspondente é a matriz P formada pelos autovetores de A .

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