Verifique que a seguinte matriz é diagonalizável, escreva uma matriz diagonal semelhante e uma matriz de mudança de base correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a matriz A é diagonalizável, e caso seja, escrever uma matriz diagonal similar a A e uma matriz de mudança de base correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, autovalores (ou valores próprios) e autovetores. Vamos precisar encontrar os autovalores de A , verificar se existem autovetores suficientes para diagonalizá-la e, por fim, construir as matrizes solicitadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de A . Autovalores são números lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante de A - lambda I .
Calculando o determinante de uma matriz 4x4 pode ser trabalhoso, mas notamos que há muitos zeros, o que facilita a expansão. Podemos expandir pelo segundo coluna, já que há zeros que simplificam os cálculos:
Observamos que o autovalor lambda = -1 tem multiplicidade algébrica 2, enquanto os outros autovalores têm multiplicidade 1. Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.
Vamos verificar os autovetores para cada autovalor.
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor para lambda = 3 .
Passo 11
Como encontramos um total de 4 autovetores linearmente independentes (dois para lambda = -1 , um para lambda = 1 e um para lambda = 3 ), isso significa que a matriz A é diagonalizável.
Passo 12
Agora, vamos construir a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal: