Dados os vértices de um tetraedro: A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3), calcule:
a) o volume do paralelepípedo determinado por A B, A C e A D;
b) o volume do tetraedro.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tetraedro definido por quatro pontos no espaço: A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3). Precisamos calcular:
a) O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD.
b) O volume do próprio tetraedro.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de vetores, determinantes e fórmula de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB, AC e AD.
Para obter um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.
Então:
AB = B - A = (5-1, 0-2, 1-(-1)) = (4, -2, 2)
AC = C - A = (2-1, -1-2, 1-(-1)) = (1, -3, 2)
AD = D - A = (6-1, 1-2, -3-(-1)) = (5, -1, -2)

Passo 3

Agora, para calcular o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores, usamos a fórmula do determinante:
Vpara<=<=pípedo = |det(AB, AC, AD)| í
Isso significa que vamos montar uma matriz 3x3 com os vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores:
4 & 1 & 5 -2 & -3 & -1 2 & 2 & -2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus:
det = 4 times (-3) times (-2) + 1 times (-1) times 2 + 5 times (-2) times 2 - 5 times (-3) times 2 - 1 times (-2) times (-2) - 4 times (-1) times 2
Calculando cada termo:
4 times (-3) times (-2) = 24
1 times (-1) times 2 = -2
5 times (-2) times 2 = -20
-5 times (-3) times 2 = 30
-1 times (-2) times (-2) = -4
-4 times (-1) times 2 = 8
Somando todos os termos:
det = 24 - 2 - 20 + 30 - 4 + 8 = 36

Passo 6

Portanto, o volume do paralelepípedo é o valor absoluto do determinante calculado:
Vpara<=<=pípedo = |36| = 36 í

Passo 7

Agora, para encontrar o volume do tetraedro, usamos a relação entre o volume do tetraedro e o do paralelepípedo. O volume do tetraedro é 16 do volume do paralelepípedo formado pelos mesmos vetores.
Vtetraedro = 16 times Vpara<=<=pípedo = 16 times 36 = 6 í

Resposta

a) O volume do paralelepípedo é 36 unidades cúbicas.
b) O volume do tetraedro é 6 unidades cúbicas.

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