Sejam e , determine um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal a e . Nas mesmas condições, determine um vetor de módulo 3 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um vetor unitário que seja perpendicular aos vetores e . Depois, também precisamos achar um vetor com módulo igual a 3 nessas mesmas condições. Para isso, vamos usar o conteúdo de produto vetorial e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos e , a gente vai calcular o produto vetorial deles, que nos dá um vetor perpendicular aos dois. A fórmula do produto vetorial é:
Passo 3
Vamos calcular o determinante:
u times v = i cdot (2 cdot 1 - (-2) cdot (-2)) - j cdot (0 cdot 1 - (-2) cdot 1) + k cdot (0 cdot (-2) - 2 cdot 1)
Simplificando:
u times v = i cdot (2 - 4) - j cdot (0 - (-2)) + k cdot (0 - 2)
u times v = i cdot (-2) - j cdot 2 + k cdot (-2)
Então, o vetor perpendicular é:
w = (-2, -2, -2)
Passo 4
Agora, precisamos transformar esse vetor w = (-2, -2, -2) em um vetor unitário, ou seja, com módulo igual a 1. Para isso, a gente divide cada componente pelo módulo do vetor.
Um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v é ( dfrac-1raiz3, dfrac-1raiz3, dfrac-1raiz3 ), e um vetor de módulo 3 nessas condições é ( -raiz3, -raiz3, -raiz3 ).