Sejam u=(0,2,-2) e v=(1,-2,1), determine um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal a u e v. Nas mesmas condições, determine um vetor de módulo 3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um vetor unitário que seja perpendicular aos vetores u = (0,2,-2) e v = (1,-2,1). Depois, também precisamos achar um vetor com módulo igual a 3 nessas mesmas condições. Para isso, vamos usar o conteúdo de produto vetorial e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos u e v, a gente vai calcular o produto vetorial deles, que nos dá um vetor perpendicular aos dois. A fórmula do produto vetorial é:
u times v = i & j & k 0 & 2 & -2 1 & -2 & 1

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
u times v = i cdot (2 cdot 1 - (-2) cdot (-2)) - j cdot (0 cdot 1 - (-2) cdot 1) + k cdot (0 cdot (-2) - 2 cdot 1)
Simplificando:
u times v = i cdot (2 - 4) - j cdot (0 - (-2)) + k cdot (0 - 2)
u times v = i cdot (-2) - j cdot 2 + k cdot (-2)
Então, o vetor perpendicular é:
w = (-2, -2, -2)

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor w = (-2, -2, -2) em um vetor unitário, ou seja, com módulo igual a 1. Para isso, a gente divide cada componente pelo módulo do vetor.
Primeiro, calculamos o módulo de w:
|w| = raiz(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Passo 5

Dividindo cada componente de w pelo seu módulo:
u1 = ( -22raiz3, -22raiz3, -22raiz3 ) = ( -1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 )
Este é o vetor unitário que buscamos.

Passo 6

Agora, queremos um vetor nas mesmas condições, mas com módulo 3. Para isso, basta multiplicar o vetor unitário por 3:
u3 = 3 cdot ( -1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) = ( -3raiz3, -3raiz3, -3raiz3 )
Simplificando:
u3 = ( -raiz3, -raiz3, -raiz3 )

Resposta

Um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v é ( dfrac-1raiz3, dfrac-1raiz3, dfrac-1raiz3 ), e um vetor de módulo 3 nessas condições é ( -raiz3, -raiz3, -raiz3 ).

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