Sejam u=(2,-5,4,6,-3) e v=(5,-2,1,-7,-4). Encontre
(a) 4 u-3 v;
(b) 5 u+2 v; (c)
(c) u cdot v; (d)
|u|
e |v|; (
(e) proj(u, v); (f) d(u, v).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^5,
u=(2,-5,4,6,-3), v=(5,-2,1,-7,-4),
e pede: combinações lineares, produto interno, norma euclidiana, projeção ortogonal de u sobre v e distância entre u e v. Vamos usar as definições coordenada a coordenada, soma de produtos, raiz da soma de quadrados e as fórmulas padrão de projeção e distância.

Passo 2

Para as combinações lineares fazemos multiplicação escalar e soma componente a componente.
Para ;4u-3v:
4u=(8,-20,16,24,-12), 3v=(15,-6,3,-21,-12),
4u-3v=(8-15,,-20+6,;16-3,;24+21,;-12+12)=(-7,-14,13,45,0)
Para ;5u+2v:
5u=(10,-25,20,30,-15), 2v=(10,-4,2,-14,-8),
5u+2v=(10+10,,-25-4,;20+2,;30-14,;-15-8)=(20,-29,22,16,-23)

Passo 3

O produto interno é a soma dos produtos coordenada a coordenada:
ucdot v =2cdot5+(-5)cdot(-2)+4cdot1+6cdot(-7)+(-3)cdot(-4) =10+10+4-42+12=-6

Passo 4

A norma euclidiana é a raiz da soma dos quadrados:
|u| =raiz2^2+(-5)^2+4^2+6^2+(-3)^2 =raiz4+25+16+36+9 =raiz90 =3raiz10,
|v| =raiz5^2+(-2)^2+1^2+(-7)^2+(-4)^2 =raiz25+4+1+49+16 =raiz95

Passo 5

A projeção de u sobre v usa
proj(u,v) =ucdot v|v|^2,v =-695,(5,-2,1,-7,-4)

Passo 6

A distância é a norma de u-v. Primeiro
u-v=(2-5,,-5+2,,4-1,,6+7,,-3+4)=(-3,-3,3,13,1),
d(u,v)=|u-v|=raiz(-3)^2+(-3)^2+3^2+13^2+1^2 =raiz9+9+9+169+1 =raiz197

Resposta

(a) (-7,-14,13,45,0)
(b) (20,-29,22,16,-23)
(c) -6
(d) |u|=3raiz10,;|v|=raiz95
(e) proj(u,v)=-695(5,-2,1,-7,-4)
(f) d(u,v)=raiz197

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