Determine m e n para que se tenha:
(1, n, 2) cdot(4,-1,3)=-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar os valores de m e n de modo que o produto escalar dos vetores (m, n, 2) e (4, -1, 3) seja igual a -2. Isso envolve o conceito de produto escalar de vetores, e para resolver, vamos precisar entender como calcular esse produto.

Passo 2

Primeiro, lembra como é feito o produto escalar? Se a gente tem dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) , o produto escalar deles é:
a cdot b = a1 times b1 + a2 times b2 + a3 times b3
Então, a gente multiplica cada componente correspondente dos vetores e soma tudo.

Passo 3

Aplicando isso aos vetores do problema, temos:
(m, n, 2) cdot (4, -1, 3) = m times 4 + n times (-1) + 2 times 3
Vamos simplificar:
4m - n + 6

Passo 4

Sabemos que esse produto escalar deve ser igual a -2. Então, montamos a equação:
4m - n + 6 = -2
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre m e n .

Passo 5

Vamos isolar uma das variáveis. Vou isolar o n :
4m + 6 + 2 = n Rightarrow 4m + 8 = n
Então, a relação entre m e n é:
n = 4m + 8

Resposta

Os valores de m e n devem satisfazer a relação n = 4m + 8 . Ou seja, para qualquer valor de m , n deve ser igual a 4m + 8 para que o produto escalar dos vetores seja -2.

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