Dados os vetores abaixo, reescreva-os na forma u=|u|(cos theta imath+sen theta j) e determine o vetor unitário de mesma direção e sentido.
(c) u=(2,2)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever o vetor u=(2,2) na forma
u=|u|l(costheta,imath+sentheta,jr)
e, em seguida, determinar o vetor unitário de mesma direção e sentido. Vamos precisar calcular a norma |u| e o ângulo theta que u faz com o eixo x.

Passo 2

Calculamos a norma de u usando a definição |u|=raizx^2+y^2. Como u=(2,2),
|u| = raiz2^2 + 2^2 = raiz4+4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 3

Para encontrar theta, usamos as definições
costheta = x|u|, sentheta = y|u|
Aqui x=y=2, logo
costheta = 22raiz2 = 1raiz2, sentheta = 22raiz2 = 1raiz2
Esses valores correspondem ao ângulo
theta = pi4

Passo 4

Agora substituímos na forma polar:
u = 2raiz2l(cos!l(tfracpi4r),imath + sen!l(tfracpi4r),jr)
O vetor unitário u de mesma direção e sentido é dado por
u = u|u| = l(cos!l(tfracpi4r),,sen!l(tfracpi4r)r) = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Resposta

u = 2raiz2l(cos!l(tfracpi4r),imath + sen!l(tfracpi4r),jr), u = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

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