Determine x para que os vetores (2,1,-1) e (1, x, 0) formem um ângulo de 45^circ.

Passo 1

O enunciado pede os valores de x tais que o ângulo entre os vetores
v = (2,1,-1) e u = (1,x,0)
seja 45^circ.
O conteúdo necessário é a fórmula do produto escalar em R^3:
vcdot u = |v|;|u|costheta

Passo 2

Calculemos o produto escalar e as normas:
vcdot u = 2cdot1 + 1cdot x +(-1)cdot0 = 2 + x,
|v| = raiz2^2+1^2+(-1)^2 = raiz6, |u| = raiz1^2 + x^2 + 0^2 = raiz1 + x^2

Passo 3

Pela fórmula do ângulo, com theta = 45^circ:
vcdot u = |v|;|u|cos45^circ Longrightarrow 2 + x = raiz6,raiz1 + x^2;raiz22

Passo 4

Note que raiz6,raiz22 = raiz3. Assim obtemos a equação
2 + x = raiz3,raiz1 + x^2

Passo 5

Elevando ambos os lados ao quadrado:
(2 + x)^2 = 3,(1 + x^2) Longrightarrow 4 + 4x + x^2 = 3 + 3x^2 Longrightarrow 2x^2 - 4x -1 = 0
Resolvendo a quadrática:
x = 4 pm raiz16 + 84 = 4 pm raiz244 = 2 pm raiz62

Passo 6

Verificamos que para ambas as soluções 2 + x>0, de modo que não introduzimos raízes extranhas ao elevar ao quadrado. Portanto ambas são válidas.

Resposta

x = 2 + raiz62 ou x = 2 - raiz62

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