Dados os vetores a=(1,0,1), b=(2,3,4) e c=(1,-1,1), calcule o produto misto a cdot(b times c) e use esse valor para determinar o determinante da matriz formada por a, b e c.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto misto acdot(btimesc) com
a=(1,0,1), b=(2,3,4) e c=(1,-1,1), e em seguida usar esse valor para determinar o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são a,b,c. O conteúdo aqui é produto vetorial e produto escalar, e a relação de que o produto misto coincide com esse determinante.

Passo 2

Vamos primeiro achar o produto vetorial btimesc. Pela definição em coordenadas:
btimesc = i & j & k 2 & 3 & 4 1 & -1 & 1 =(3cdot1-4cdot(-1)),i-l(2cdot1-4cdot1r),j+(2cdot(-1)-3cdot1),k
Calculando cada componente, obtemos
btimesc=(3+4),i-(-2),j+(-2-3),k=(7,2,-5)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar acdot(btimesc). Como a=(1,0,1) e btimesc=(7,2,-5),
acdot(btimesc) =1cdot7 + 0cdot2 + 1cdot(-5) =7 - 5 =2

Passo 4

Por definição, o determinante da matriz que tem a,b,c como colunas (ou linhas) é exatamente o produto misto acdot(btimesc). Logo, esse determinante vale 2.

Resposta

O produto misto vale 2 e, consequentemente, o determinante da matriz formada por a,b,c também é 2.

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