Dados os vetores a=(4,-1), b=(2,1) determine:
b) o ângulo formado entre estes vetores

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o ângulo entre os vetores a = (4, -1) e b = (2, 1). Para isso, vamos usar conceitos de Produto Escalar e Magnitude dos vetores, que nos ajudam a calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Produto Escalar dos vetores a e b. O Produto Escalar é dado pela fórmula:
a cdot b = ax cdot bx + ay cdot by
Substituindo os valores:
a cdot b = 4 cdot 2 + (-1) cdot 1 = 8 - 1 = 7

Passo 3

Agora, precisamos calcular a Magnitude de cada vetor. A magnitude de um vetor v = (vx, vy) é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Calculando para a:
|a| = raiz4^2 + (-1)^2 = raiz16 + 1 = raiz17
E para b:
|b| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 4

Com o Produto Escalar e as Magnitudes, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = a cdot b|a| cdot |b|
Substituindo os valores que calculamos:
cos(theta) = 7raiz17 cdot raiz5 = 7raiz85

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno (inversa do cosseno):
theta = arccos(7raiz85)
Calculando o valor numérico:
theta approx arccos(79.2195) approx arccos(0.7593) approx 40,09^circ

Resposta

O ângulo formado entre os vetores a e b é aproximadamente 40,09^circ.

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