Dados os vetores , calcular:
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço: e . A questão pede para calcular a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor . Isso está ligado à geometria vetorial, especificamente ao cálculo de áreas e alturas de paralelogramos usando vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a altura de um paralelogramo relativa a uma base. Imagine um paralelogramo formado pelos vetores e . A altura relativa à base é a distância perpendicular entre a base e o lado oposto, que está na direção de .
Passo 3
Sabemos que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores, isto é:
Também sabemos que a área de um paralelogramo pode ser calculada multiplicando a base pela altura correspondente:
Onde é a altura que queremos encontrar.
Passo 4
Igualando as duas expressões para a área, temos:
Para encontrar , basta isolar essa variável:
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial . Para vetores em três dimensões, o produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
u times v = i((-1)(1) - (2)(2)) - j((3)(1) - (2)(-2)) + k((3)(2) - (-1)(-2))