Dados os vetores u=(3,-1,2), v=(-2,2,1), calcular:
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço: u = (3, -1, 2) e v = (-2, 2, 1). A questão pede para calcular a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor u. Isso está ligado à geometria vetorial, especificamente ao cálculo de áreas e alturas de paralelogramos usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a altura de um paralelogramo relativa a uma base. Imagine um paralelogramo formado pelos vetores u e v. A altura relativa à base u é a distância perpendicular entre a base u e o lado oposto, que está na direção de v.

Passo 3

Sabemos que a área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores, isto é:
Área = |u times v| Á
Também sabemos que a área de um paralelogramo pode ser calculada multiplicando a base pela altura correspondente:
Área = |u| times h Á
Onde h é a altura que queremos encontrar.

Passo 4

Igualando as duas expressões para a área, temos:
|u times v| = |u| times h
Para encontrar h, basta isolar essa variável:
h = |u times v||u|

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial u times v. Para vetores em três dimensões, o produto vetorial é dado por:
u times v = i & j & k 3 & -1 & 2 -2 & 2 & 1
Calculando o determinante:
u times v = i((-1)(1) - (2)(2)) - j((3)(1) - (2)(-2)) + k((3)(2) - (-1)(-2))
= i(-1 - 4) - j(3 + 4) + k(6 - 2)
= i(-5) - j(7) + k(4)
Então,
u times v = (-5, -7, 4)

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
|u times v| = raiz(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2 = raiz25 + 49 + 16 = raiz90 = 3raiz10

Passo 7

Em seguida, calculamos o módulo do vetor u:
|u| = raiz3^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14

Passo 8

Finalmente, usamos a fórmula para encontrar a altura h:
h = 3raiz10raiz14 = 3raiz10raiz14 times raiz14raiz14 = 3raiz14014 = 3raiz4 times 3514 = 3 times 2 raiz3514 = 6raiz3514 = 3raiz357

Resposta

A altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u é dfrac3raiz357 unidades de comprimento.

Exercícios relacionados