1. Dados os vetores a=(3,1,-2) e b=(0,2,-1), determine o valor da expressão vetorial A=(2 a+b) cdot(2 a-b).

Passo 1

O enunciado dá os vetores a=(3,1,-2) e b=(0,2,-1) e pede o valor da expressão vetorial
A = (2a + b) cdot (2a - b)
O conteúdo necessário é o produto escalar de vetores em R^3, usando a bilinearidade
(u+v)cdotw = ucdotw + vcdotw, (ku)cdot(ellv) = kell,(ucdotv),
e ucdotu=|u|^2.

Passo 2

Aplicamos a bilinearidade para expandir o produto escalar:
(2a+b)cdot(2a-b) = (2a)cdot(2a) - (2a)cdotb + bcdot(2a) - bcdotb

Passo 3

Usando a propriedade (2a)cdotb=2(acdotb) e que bcdot(2a)=2(bcdota)=2(acdotb), os termos cruzados se cancelam:
(2a)cdotb - bcdot(2a) = 2(acdotb) - 2(acdotb) = 0
Sobram então
A = (2a)cdot(2a) - bcdotb = 4,(acdota) - (bcdotb)

Passo 4

Calculamos os auto-produtos (normas ao quadrado):
acdota = 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14, bcdotb = 0^2 + 2^2 + (-1)^2 = 0 + 4 + 1 = 5

Passo 5

Substituímos em A = 4(acdota) - (bcdotb):
A = 4cdot 14 - 5 = 56 - 5 = 51

Resposta

51

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