1. Dados os vetores v1=(2,1,3), v2=(-4,0,-6) e v3=(4,-1,2), determine o vetor v ortogonal a v1 e v2 e tal que v cdot v3=8.

Passo 1

O enunciado pede um vetor v ortogonal a v1=(2,1,3) e v2=(-4,0,-6) e tal que vcdotv3=8, onde v3=(4,-1,2). Vamos usar produto vetorial para achar um vetor no complemento ortogonal e produto escalar para ajustar o comprimento.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial
v1 times v2 = i & j & k 2 & 1 & 3 -4 & 0 & -6 = (-6,,0,,4),
que é um vetor ortogonal a v1 e v2.

Passo 3

Todo vetor ortogonal a v1 e v2 é múltiplo de (-6,0,4). Logo escrevemos
v=t,(-6,0,4)
Impondo a condição do produto escalar:
vcdotv3 = t,(-6,0,4)cdot(4,-1,2) = t,l(-24+0+8r) = -16t
Queremos -16t=8.

Passo 4

Resolvendo
-16t = 8 Longrightarrow t = -tfrac12

Passo 5

Substituindo em v=t,(-6,0,4):
v = -tfrac12,(-6,0,4) = (3,,0,,-2)

Resposta

v=(3,0,-2)

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