Dados os vetores
\begin{aligned} & \mathbf{a}=3 \mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} \\\ & \mathbf{b}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}+4 \mathbf{k} \\\ & \mathbf{c}=2 \mathbf{j}+2 \mathbf{k} \end{aligned}
Calcule, a. (b \times c).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
\mathbf{a} = 3\,\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k},\quad \mathbf{b} = 2\,\mathbf{i} + 3\,\mathbf{j} + 4\,\mathbf{k},\quad \mathbf{c} = 0\,\mathbf{i} + 2\,\mathbf{j} + 2\,\mathbf{k}
e pede para calcular o produto misto \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Vamos usar primeiro a definição de produto vetorial para obter \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois o produto escalar com \mathbf{a}.

Passo 2

Para calcular o vetor \mathbf{b}\times\mathbf{c} usamos o determinante
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 2 & 3 & 4 \\[3pt] 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\,(3\cdot2 - 4\cdot2) - \mathbf{j}\,(2\cdot2 - 4\cdot0) + \mathbf{k}\,(2\cdot2 - 3\cdot0).
Fazendo as contas:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \mathbf{i}\,(6 - 8) - \mathbf{j}\,(4 - 0) + \mathbf{k}\,(4 - 0) = -2\,\mathbf{i} - 4\,\mathbf{j} + 4\,\mathbf{k}.]

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Com
\mathbf{a} = (3,\,1,\,1), \quad \mathbf{b}\times\mathbf{c} = (-2,\,-4,\,4),
temos
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 3\cdot(-2) + 1\cdot(-4) + 1\cdot4 = -6 -4 +4 = -6.

Resposta

-6

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