Transforme as quatro equações de Maxwel da forma integral para a forma diferencial utilizando os teoremas de Stokes e Gauss. Use:
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Passo 1
O enunciado pede para transformar as quatro equações integrais de Maxwell em suas formas diferenciais, usando o Teorema do Divergente de Gauss para fluxos em superfícies e o Teorema de Stokes para circulações em contornos. O conteúdo é Eletromagnetismo (equações de Maxwell) e vamos precisar reconhecer que
e que
Passo 2
Transformação da Lei de Gauss para o campo elétrico. Começamos com a forma integral:
Como
e aplicando o Teorema do Divergente de Gauss:
segue que
Como o volume é arbitrário, igualamos os integrandos e obtemos a forma diferencial:
Passo 3
Transformação da Lei de Gauss para o campo magnético. Começamos com a forma integral:
Pelo Teorema do Divergente de Gauss:
logo
Como o volume é arbitrário, o integrando deve ser zero em todo ponto:
Passo 4
Transformação da lei de Faraday. A forma integral é
Pelo Teorema de Stokes:
e, como a derivada temporal age dentro da integral,
Igualando integrais de área arbitrárias, vem
Passo 5
Transformação da lei de Ampère–Maxwell. A forma integral é
Usando
e o Teorema de Stokes:
Igualando integrais de área arbitrárias, obtemos