Transforme as quatro equações de Maxwel da forma integral para a forma diferencial utilizando os teoremas de Stokes e Gauss. Use: \mathrm{I}_{\text {env }}=\int \overrightarrow{\mathrm{J}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{A}}.
\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{Q}}{\epsilon_{0}} \nabla \cdot \overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}
\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{A}}=0 \nabla \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}=0
\oint \vec{E} \cdot d \vec{l}=-\frac{d}{d t} \int \vec{B} \cdot d \vec{A} \nabla \mathrm{x} \overrightarrow{\mathrm{E}}=-\frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{B}}}{\partial t}
\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}=\mu_{0} I_{\text {env }}+\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d}{d t} \int \vec{E} \cdot d \vec{A} \nabla \mathrm{x} \overrightarrow{\mathrm{B}}=\mu_{0} \vec{J}+\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{E}}}{\partial \mathrm{t}}

Passo 1

O enunciado pede para transformar as quatro equações integrais de Maxwell em suas formas diferenciais, usando o Teorema do Divergente de Gauss para fluxos em superfícies e o Teorema de Stokes para circulações em contornos. O conteúdo é Eletromagnetismo (equações de Maxwell) e vamos precisar reconhecer que Q = \int \rho\,dV e que
I_{\text{env}} = \int \overrightarrow{J}\cdot d\overrightarrow{A}.

Passo 2

Transformação da Lei de Gauss para o campo elétrico. Começamos com a forma integral:
\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}.
Como Q = \int \rho\,dV e aplicando o Teorema do Divergente de Gauss:
\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A} = \int (\nabla\cdot \overrightarrow{E})\,dV,
segue que
\int (\nabla\cdot \overrightarrow{E})\,dV = \int \frac{\rho}{\epsilon_{0}}\,dV.
Como o volume é arbitrário, igualamos os integrandos e obtemos a forma diferencial:
\nabla\cdot \overrightarrow{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}.

Passo 3

Transformação da Lei de Gauss para o campo magnético. Começamos com a forma integral:
\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A} = 0.
Pelo Teorema do Divergente de Gauss:
\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A} = \int (\nabla\cdot \overrightarrow{B})\,dV,
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\int (\nabla\cdot \overrightarrow{B})\,dV = 0.
Como o volume é arbitrário, o integrando deve ser zero em todo ponto:
\nabla\cdot \overrightarrow{B} = 0.

Passo 4

Transformação da lei de Faraday. A forma integral é
\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\ell} = -\frac{d}{dt}\int \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}.
Pelo Teorema de Stokes:
\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\ell} = \int (\nabla \times \overrightarrow{E})\cdot d\overrightarrow{A},
e, como a derivada temporal age dentro da integral,
-\frac{d}{dt}\int \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A} = -\int \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{A}.
Igualando integrais de área arbitrárias, vem
\nabla \times \overrightarrow{E} = -\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}.

Passo 5

Transformação da lei de Ampère–Maxwell. A forma integral é
\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{env}} + \mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\int \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}.
Usando I_{\text{env}} = \int \overrightarrow{J}\cdot d\overrightarrow{A} e o Teorema de Stokes:
\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\ell} = \int (\nabla \times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{A},
\mu_{0}\,I_{\text{env}} = \mu_{0}\int \overrightarrow{J}\cdot d\overrightarrow{A}, \quad \mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\int \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A} = \mu_{0}\,\epsilon_{0}\int \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{A}.
Igualando integrais de área arbitrárias, obtemos
\nabla \times \overrightarrow{B} = \mu_{0}\,\overrightarrow{J} + \mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}.

Resposta

\nabla\cdot \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_{0}} \nabla\cdot \overrightarrow{B} = 0 \nabla \times \overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \nabla \times \overrightarrow{B} = \mu_{0}\,\overrightarrow{J} + \mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}

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