Dados os vetores boldsymbol{u}=(5,9,-5), \boldsymbol{v}=(6,-2,7) e boldsymbol{w}=(-7,-1,-8), calcular:
|u+v|^{2}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{u}=(5,9,-5), \boldsymbol{v}=(6,-2,7) e \boldsymbol{w}=(-7,-1,-8) e pede para calcular |u+v|^{2}.
Informações relevantes que temos:
  • As componentes de \boldsymbol{u} são 5,\;9,\;-5.
  • As componentes de \boldsymbol{v} são 6,\;-2,\;7.
  • A operação solicitada é o quadrado da norma do vetor soma \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}: |\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}|^{2}.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é soma de vetores em coordenadas: somam-se as componentes correspondentes. Ou seja, se \boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3) e \boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3) então
\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).
Aplicando isso:
\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=(5+6,\;9+(-2),\;-5+7)=(11,\;7,\;2).

Passo 3

Agora, o que significa |\boldsymbol{a}|^{2} para um vetor \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)?
  • A norma (comprimento) é |\boldsymbol{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.
  • Portanto o quadrado da norma é
|\boldsymbol{a}|^{2}=a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}.
Outra forma muito útil usa o produto escalar: |\boldsymbol{a}|^{2}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}, onde \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.

Passo 4

Há também uma identidade prática para o quadrado da norma da soma:
|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}|^{2}=|\boldsymbol{u}|^{2}+|\boldsymbol{v}|^{2}+2\,\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.
Vou calcular as quantidades necessárias: |\boldsymbol{u}|^{2},\;|\boldsymbol{v}|^{2} e \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}.
Calcular |\boldsymbol{u}|^{2}:
|\boldsymbol{u}|^{2}=5^{2}+9^{2}+(-5)^{2}=25+81+25=131.
Calcular |\boldsymbol{v}|^{2}:
|\boldsymbol{v}|^{2}=6^{2}+(-2)^{2}+7^{2}=36+4+49=89.
Calcular o produto escalar \boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}:
\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=5\cdot6 + 9\cdot(-2) + (-5)\cdot7 = 30 - 18 -35 = -23.

Passo 5

Substituir esses valores na identidade:
|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}|^{2}=131 + 89 + 2\cdot(-23).
Fazendo as contas parciais:
131+89=220, \qquad 2\cdot(-23)=-46,
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|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}|^{2}=220-46.

Passo 6

Calcular a subtração final:
220-46=174.
Como checagem alternativa, poderia calcular diretamente a soma das componentes de \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=(11,7,2) e somar os quadrados:
11^{2}+7^{2}+2^{2}=121+49+4=174,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

174

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