1. Dados os vetores
u=(2,-3,2), v=(2,2,0) e w=(1,-3,4)
Calcule:
(a) u cdot v e v cdot u;
(b) u times v e v times u;
(c) (u times v) cdot w e u cdot(v times w)

Passo 1

O enunciado dá três vetores u=(2,-3,2), v=(2,2,0) e w=(1,-3,4). Vamos usar a definição de produto escalar
acdotb=sumi=1^3 ai bi, de produto vetorial
atimesb=(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1),
e de produto escalar misto (atimesb)cdotc=acdot(btimesc).

Passo 2

Para os produtos escalares:
ucdotv =2cdot2 + (-3)cdot2 + 2cdot0 =4 - 6 + 0 =-2
Como acdotb=bcdota, temos
vcdotu = -2

Passo 3

Para o produto vetorial, aplicamos a fórmula:
utimesv =l((-3)cdot0 - 2cdot2,;2cdot2 - 2cdot0,;2cdot2 - (-3)cdot2r) =(-4,,4,,10)
Pela anticomutatividade btimesa=-,(atimesb),
vtimesu = (4,,-4,,-10)

Passo 4

Para o produto escalar misto, primeiro usamos utimesv=(-4,4,10) e então
(utimesv)cdotw =(-4)cdot1 + 4cdot(-3) + 10cdot4 =-4 - 12 + 40 =24
Alternativamente, calculamos
vtimesw =l(2cdot4 - 0cdot(-3),;0cdot1 - 2cdot4,;2cdot(-3) - 2cdot1r) =(8,-8,-8),
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ucdot(vtimesw) =2cdot8 + (-3)cdot(-8) + 2cdot(-8) =16 + 24 - 16 =24

Resposta

(a) ucdotv = vcdotu = -2.
(b) utimesv = (-4,4,10), vtimesu = (4,-4,-10).
(c) (utimesv)cdotw = 24 e ucdot(vtimesw) = 24.

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