1. Mostre que, no conjunto A=0,1, as operações definidas abaixo satisfazem a todas as condições da definição de espaço vetorial real, exceto à lei associativa para a multiplicação por escalar e às leis distributivas.
Adição: 0 oplus 0=0,0 oplus 1=1,1 oplus 0=1 e 1 oplus 1=0
Multiplicação por escalar: alpha odot x=x se alpha>0 e alpha odot x= 0 se alpha <= 0, onde alpha in R e x in A.

Passo 1

Resumo: a gente tem o conjunto A={0,1} com adição definida como soma mod 2 e multiplicação por escalar tal que αodot x = x se α>0 e αodot x = 0 se α<=0. O objetivo é checar todos os axiomas de espaço vetorial real e ver quais não valem.

Passo 2

Fechamento na adição: para qualquer x,yin A, a operação xoplus y só pode dar 0 ou 1 (é soma mod 2), logo xoplus yin A.

Passo 3

Associatividade da adição: como oplus é soma mod 2, vale sempre (xoplus y)oplus z = xoplus(yoplus z) para todo x,y,zin A.

Passo 4

Comutatividade da adição: idem, xoplus y = yoplus x por ser soma mod 2.

Passo 5

Elemento neutro aditivo: o zero de A satisfaz 0oplus x = x e xoplus 0 = x, então existe neutro.

Passo 6

Inverso aditivo: cada elemento é seu próprio inverso, pois xoplus x = 0 para x=0 ou 1.

Passo 7

Fechamento na multiplicação por escalar: para todo αin R e xin A, αodot x é ou x ou 0, logo fica em A.

Passo 8

Elemento escalar 1: como 1>0, temos 1odot x = x para todo xin A, então a lei 1odot x = x vale.

Passo 9

Falta a associatividade da multiplicação por escalar: por exemplo, tome α=β=-1 e x=1. Então

Passo 10

(αβ)odot x = ( (-1)cdot(-1))odot1 =1odot1=1,

Passo 11

mas

Passo 12

αodot(βodot x) = (-1)odot( (-1)odot1)=(-1)odot0=0,

Passo 13

logo (αβ)odot x ne αodot(βodot x), a lei associativa falha.

Passo 14

Falha na distributividade em relação à soma de escalares: por exemplo, com α=1,β=-1,x=1 temos

Passo 15

(α+β)odot x = (1+(-1))odot1 =0odot1=0,

Passo 16

enquanto

Passo 17

αodot x oplus βodot x = 1odot1 oplus (-1)odot1 =1oplus0=1,

Passo 18

logo (α+β)odot x ne αodot x oplus βodot x.

Resposta

As operações satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial real, exceto a associatividade da multiplicação por escalar e a distributividade em relação à soma de escalares.

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