- Mostre que, no conjunto
, as operações definidas abaixo satisfazem a todas as condições da definição de espaço vetorial real, exceto à lei associativa para a multiplicação por escalar e às leis distributivas.
Adição:
Multiplicação por escalar:
se
e
0 se
, onde
e
.
Multiplicação por escalar:
Passo 1
Resumo: a gente tem o conjunto A={0,1} com adição definida como soma mod 2 e multiplicação por escalar tal que
se
e
se
. O objetivo é checar todos os axiomas de espaço vetorial real e ver quais não valem.
Passo 2
Fechamento na adição: para qualquer
, a operação
só pode dar 0 ou 1 (é soma mod 2), logo
.
Passo 3
Associatividade da adição: como
é soma mod 2, vale sempre
para todo
.
Passo 4
Comutatividade da adição: idem,
por ser soma mod 2.
Passo 5
Elemento neutro aditivo: o zero de A satisfaz
e
, então existe neutro.
Passo 6
Inverso aditivo: cada elemento é seu próprio inverso, pois
para
ou
.
Passo 7
Fechamento na multiplicação por escalar: para todo
e
,
é ou
ou
, logo fica em A.
Passo 8
Elemento escalar 1: como
, temos
para todo
, então a lei
vale.
Passo 9
Falta a associatividade da multiplicação por escalar: por exemplo, tome
e
. Então
Passo 10
Passo 11
mas
Passo 12
Passo 13
logo
, a lei associativa falha.
Passo 14
Falha na distributividade em relação à soma de escalares: por exemplo, com
temos
Passo 15
Passo 16
enquanto
Passo 17
Passo 18
logo
.
Resposta
As operações satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial real, exceto a associatividade da multiplicação por escalar e a distributividade em relação à soma de escalares.