Julgue verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
b. O conjunto Q^2=(a, b): a, b in Q, com as operações usuais, é um espaço vetorial real.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai analisar se o conjunto Q^2=(a,b):a,binQ, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre R. O conteúdo da matéria é espaço vetorial: precisamos checar as propriedades, mas se uma falhar já basta pra concluir.

Passo 2

Vamos verificar a propriedade de fechamento na adição. Se temos dois vetores em Q^2, digamos (a,b) e (c,d) com a,b,c,dinQ, a soma é

Passo 3

(a,b)+(c,d)=(a+c,,b+d)
Como a soma de números racionais continua racional, a+c e b+d estão em Q. Logo (a+c,b+d)inQ^2 e a adição é fechada.

Passo 4

Agora vamos à multiplicação por escalar. Para ser um espaço vetorial real, precisamos poder multiplicar qualquer vetor em Q^2 por qualquer escalar em R e continuar em Q^2. A definição é

Passo 5

lambdacdot(a,b)=(lambda a,,lambda b),
onde lambdainR e (a,b)inQ^2. Se escolhermos, por exemplo, lambda=raiz2 (que não é racional) e a=1, então lambda a=raiz2notinQ. Assim

Passo 6

raiz2cdot(1,0)=(raiz2,0)notinQ^2
Isso mostra que não há fechamento na multiplicação por escalares reais.

Passo 7

Como falha o fechamento na multiplicação por escalares, Q^2 não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Resposta

Falso. Q^2 não é um espaço vetorial real porque não é fechado sob multiplicação por escalares reais.

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