Julgue verdadeiras ou falsas as afirmativas a seguir. Justifique!
b. O conjunto
, com as operações usuais, é um espaço vetorial real.
b. O conjunto
Passo 1
Nesse exercício a gente vai analisar se o conjunto
, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre
. O conteúdo da matéria é espaço vetorial: precisamos checar as propriedades, mas se uma falhar já basta pra concluir.
Passo 2
Vamos verificar a propriedade de fechamento na adição. Se temos dois vetores em
, digamos
e
com
, a soma é
Passo 3
Como a soma de números racionais continua racional,
e
estão em
. Logo
e a adição é fechada.
Passo 4
Agora vamos à multiplicação por escalar. Para ser um espaço vetorial real, precisamos poder multiplicar qualquer vetor em
por qualquer escalar em
e continuar em
. A definição é
Passo 5
onde
e
. Se escolhermos, por exemplo,
(que não é racional) e
, então
. Assim
Passo 6
Isso mostra que não há fechamento na multiplicação por escalares reais.
Passo 7
Como falha o fechamento na multiplicação por escalares,
não satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Resposta
Falso.
não é um espaço vetorial real porque não é fechado sob multiplicação por escalares reais.