Dados os vetores
[
\vec{u}=(2,-3,2), \quad \vec{v}=(2,2,0) \quad e \quad \vec{w}=(1,-3,4) .
]
Calcule:
(a) \vec{u} \cdot \vec{v} e \vec{v} \cdot \vec{u};
(b) \vec{u} \times \vec{v} e \vec{v} \times \vec{u};
(c) (\vec{u} \times v) \cdot \vec{w} e \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u = (2,-3,2), v = (2,2,0), w = (1,-3,4)
Pede-se (a) os produtos escalares ucdotv e vcdotu; (b) os produtos vetoriais utimesv e vtimesu; (c) os produtos escalares (utimesv)cdotw e ucdot(vtimesw). Vamos usar as definições de produto escalar, produto vetorial (como determinante 3times3) e a propriedade da triple scalar product.

Passo 2

Para os produtos escalares usamos
ucdotv = u1v1 + u2v2 + u3v3
Com u=(2,-3,2) e v=(2,2,0),
ucdotv = 2cdot2 + (-3)cdot2 + 2cdot0 = 4 - 6 + 0 = -2
Como o produto escalar é comutativo,
vcdotu = ucdotv = -2

Passo 3

Para utimesv usamos o determinante
utimesv = i & j & k 2 & -3 & 2 2 & 2 & 0 = i((-3)cdot0 - 2cdot2) - j(2cdot0 - 2cdot2) + k(2cdot2 - (-3)cdot2),
logo
utimesv = (-4),i -(-4),j + (4+6),k = (-4,,4,,10)
E trocando a ordem, vtimesu = -(utimesv) = (4,-4,-10).

Passo 4

Para a triple scalar product usamos (atimesb)cdotc. Primeiro
(utimesv)cdotw = (-4,4,10)cdot(1,-3,4) = -4cdot1 + 4cdot(-3) + 10cdot4 = -4 -12 + 40 = 24
Em seguida calculamos vtimesw:
vtimesw = i & j & k 2 & 2 & 0 1 & -3 & 4 = i(2cdot4 - 0cdot(-3)) - j(2cdot4 - 0cdot1) + k(2cdot(-3) - 2cdot1) = (8,,-8,,-8)
Logo
ucdot(vtimesw) = (2,-3,2)cdot(8,-8,-8) = 2cdot8 + (-3)cdot(-8) + 2cdot(-8) = 16 + 24 - 16 = 24

Resposta

(a) ucdotv = -2, vcdotu = -2
(b) utimesv = (-4,4,10), vtimesu = (4,-4,-10)
(c) (utimesv)cdotw = 24, ucdot(vtimesw) = 24

Exercícios relacionados