- Mostre que
com as operações usuais é um espaço vetorial real (siga os passos da demonstração para
feita no exemplo 1).
Passo 1
Para começar, vamos resumir o enunciado: precisamos provar que
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre
. Isso significa relembrar os axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade, elementos neutro e inverso para a adição, e propriedades da multiplicação escalar) e mostrá-los para vetores em
.
Passo 2
Definimos três vetores arbitrários em
e dois escalares em
:
Vetores:
Escalares:
.
Passo 3
A primeira propriedade é o fechamento da adição: sempre que somamos dois vetores em
, o resultado deve ficar em
. Pela definição coordenada a coordenada, temos:
Como cada
é um número real,
é mesmo um vetor em
, mostrando o fechamento.
Passo 4
Agora a comutatividade da adição diz que
. De fato:
Passo 5
A associatividade da adição exige que
. Calculando os dois lados:
Isso vale pois a soma de reais é associativa.
Passo 6
O vetor zero (elemento neutro da adição) em
é
, já que para todo
:
Passo 7
Todo vetor
também tem inverso aditivo
, dado por:
porque
Passo 8
Passando para multiplicação escalar, fechamos em
pois para
e
:
é claramente um vetor em
.
Passo 9
A distributividade do escalar sobre adição de vetores diz que
e também
Passo 10
A distributividade do escalar sobre soma de escalares afirma que
é igual a
Passo 11
A compatibilidade da multiplicação escalar (associatividade entre escalares) requer:
Passo 12
Por fim, o elemento neutro escalar
satisfaz
Resposta
Como mostramos cada axioma (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de zero e inverso aditivo, fechamento e propriedades da multiplicação escalar) valendo para vetores em
, concluímos que
com as operações usuais é de fato um espaço vetorial real.