1. Mostre que R^3 com as operações usuais é um espaço vetorial real (siga os passos da demonstração para R^2 feita no exemplo 1).

Passo 1

Para começar, vamos resumir o enunciado: precisamos provar que R^3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre R. Isso significa relembrar os axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade, associatividade, elementos neutro e inverso para a adição, e propriedades da multiplicação escalar) e mostrá-los para vetores em R^3.

Passo 2

Definimos três vetores arbitrários em R^3 e dois escalares em R:
Vetores:
u=(x1,x2,x3), v=(y1,y2,y3), w=(z1,z2,z3)
Escalares: a,binR.

Passo 3

A primeira propriedade é o fechamento da adição: sempre que somamos dois vetores em R^3, o resultado deve ficar em R^3. Pela definição coordenada a coordenada, temos:
u+v=(x1+y1,;x2+y2,;x3+y3)
Como cada xi+yi é um número real, u+v é mesmo um vetor em R^3, mostrando o fechamento.

Passo 4

Agora a comutatividade da adição diz que u+v=v+u. De fato:
u+v=(x1+y1,;x2+y2,;x3+y3) = (y1+x1,;y2+x2,;y3+x3) = v+u

Passo 5

A associatividade da adição exige que (u+v)+w=u+(v+w). Calculando os dois lados:
(u+v)+w = (x1+y1+z1,;x2+y2+z2,;x3+y3+z3) = u+(v+w)
Isso vale pois a soma de reais é associativa.

Passo 6

O vetor zero (elemento neutro da adição) em R^3 é (0,0,0), já que para todo u:
u+(0,0,0) = (x1+0,;x2+0,;x3+0) = u

Passo 7

Todo vetor u também tem inverso aditivo -u, dado por:
-u = (-x1,-x2,-x3),
porque
u + (-u) = (x1-x1,;x2-x2,;x3-x3) = (0,0,0)

Passo 8

Passando para multiplicação escalar, fechamos em R^3 pois para ainR e u:
a,u = (a x1,;a x2,;a x3)
é claramente um vetor em R^3.

Passo 9

A distributividade do escalar sobre adição de vetores diz que
a,(u+v) = a,(x1+y1,;x2+y2,;x3+y3) = (a(x1+y1),;a(x2+y2),;a(x3+y3))
e também
a,u + a,v = (a x1,;a x2,;a x3) + (a y1,;a y2,;a y3) = (a(x1+y1),;a(x2+y2),;a(x3+y3))

Passo 10

A distributividade do escalar sobre soma de escalares afirma que
(a+b),u = ((a+b)x1,;(a+b)x2,;(a+b)x3)
é igual a
a,u + b,u = (a x1,;a x2,;a x3) + (b x1,;b x2,;b x3) = ((a+b)x1,;(a+b)x2,;(a+b)x3)

Passo 11

A compatibilidade da multiplicação escalar (associatividade entre escalares) requer:
(ab),u = (ab x1,;ab x2,;ab x3) = a,(b,u)

Passo 12

Por fim, o elemento neutro escalar 1 satisfaz
1,u = (1cdot x1,;1cdot x2,;1cdot x3) = u

Resposta

Como mostramos cada axioma (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de zero e inverso aditivo, fechamento e propriedades da multiplicação escalar) valendo para vetores em R^3, concluímos que R^3 com as operações usuais é de fato um espaço vetorial real.

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