Verifique se os vetores a=(2,1,0) e b=(1,-2,2) são perpendiculares, calculando o produto vetorial entre eles.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores a=(2,1,0) e b=(1,-2,2) são perpendiculares, usando o produto vetorial. Aqui o conteúdo é entender como o módulo do produto vetorial se relaciona com o ângulo theta entre dois vetores, pois
|atimesb| = |a|,|b|sintheta

Passo 2

Vamos calcular atimesb pela regra do determinante em termos das componentes:
atimesb = i & j & k 2 & 1 & 0 1 & -2 & 2

Passo 3

Expandindo o determinante, obtemos
atimesb =i(1cdot2-0cdot(-2)) -j(2cdot2-0cdot1) +k(2cdot(-2)-1cdot1) =(2,,-4,,-5)

Passo 4

Agora calculamos os módulos:
|a| = raiz2^2+1^2+0^2 = raiz5, |b| = raiz1^2+(-2)^2+2^2 = 3,
|atimesb| = raiz2^2+(-4)^2+(-5)^2 = raiz4+16+25 = raiz45 =3raiz5

Passo 5

Usando
|atimesb| = |a|,|b|sintheta,
temos
3raiz5 = l(raiz5r),(3),sintheta Longrightarrow 3raiz5 = 3raiz5,sintheta Longrightarrow sintheta = 1
Quando sintheta=1, theta=90^circ, ou seja, os vetores são perpendiculares.

Resposta

Os vetores são perpendiculares, pois |atimesb|=|a|,|b| implica theta=90^circ.

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